Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(M\) là trung điểm của \(BC\), khoảng cách \(h\) từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Góc giữa đường thẳng \(SM\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi phương trình chính tắc hypebol \(\left( H \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > 0\,,\,\,b > 0} \right)\).

Đường chéo hình vuông nhỏ nhất là \(2a = 0,5\sqrt 2  \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Ta có \(\tan 30^\circ  = \frac{a}{b} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}}{b} \Rightarrow b = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\). Do vậy \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{8}}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{3}{8}}} = 1\) hay \(8{x^2} = 1 + \frac{{8{y^2}}}{3} \Rightarrow x =  \pm \sqrt {\frac{1}{8} + \frac{{{y^2}}}{3}} \).

Xét mặt cắt vuông góc với Oy của cái bục tại vị trí có hoành độ \(x > 0\) thì ta thu được hình vuông có cạnh \(\frac{{2x}}{{\sqrt 2 }} = x\sqrt 2  = \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{{2{y^2}}}{3}} \).

Với \(x = \frac{{1 \cdot \sqrt 2 }}{2}\) (xét hình vuông mặt trên cùng của cái bục); ta có \(y = \frac{{3\sqrt 2 }}{4} > 0\).

Với \(x = \frac{{\sqrt 2  \cdot \sqrt 2 }}{2} = 1\) (xét hình vuông mặt đáy dưới của cái bục); ta có \(y =  - \frac{{\sqrt {42} }}{4} < 0\).

Thể tích cái bục là \(V = 1 \cdot 1 \cdot 0,05 + \sqrt 2  \cdot \sqrt 2  \cdot 0,2 + \int\limits_{\frac{{ - \sqrt {42} }}{4}}^{\frac{{3\sqrt 2 }}{4}} {\left( {\frac{1}{4} + \frac{{2{y^2}}}{3}} \right){\rm{d}}y}  \approx 2,33\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

Đáp án: 2,33.