Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(M\) là trung điểm của \(BC\), khoảng cách \(h\) từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Góc giữa đường thẳng \(SM\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử ĐGNL Bộ Công an năm 2026 - Đề số 5 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) suy ra góc giữa \(SM\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {SMA}\).
Kẻ \(AH \bot SM\left( {H \in SM} \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Từ đó suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow h = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta HAM\) vuông tại \(H\) có: \(\sin \widehat {SMA} = \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SMA} = 30^\circ \). Chọn C.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Ta có \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(MA = MB\) nên \(M\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\), trong đó \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua trung điểm \(I\left( {2\,;\,\,1\,;\,\, - 1} \right)\) của AB, vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} = \left( {0\,;\,\, - 2\,;\,\, - 2} \right)\) nên có phương trình \(0\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0\,\,{\rm{hay}}\,\,y + z = 0\).
Gọi \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\); từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z - 1 = 0\\y + z = 0\end{array} \right.\), đặt \(z = t\) ta có phương trình tham số đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - t\\z = t\end{array} \right.\).
Gọi \(M\left( {1 + 3t\,;\,\, - t\,;\,\,t} \right) \in d\); suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {3t - 1\,;\,\, - t - 2\,;\,\,t} \right)\,,\,\,\overrightarrow {BM} = \left( {3t - 1\,;\,\, - t\,;\,\,t + 2} \right)\).
Ta có: \(\cos \widehat {AMB} = \cos \left( {\overrightarrow {AM} \,,\,\,\overrightarrow {BM} } \right) = \frac{{{{\left( {3t - 1} \right)}^2} + 2\left( {{t^2} + 2t} \right)}}{{{{\left( {3t - 1} \right)}^2} + {t^2} + {{\left( {t + 2} \right)}^2}}} = \frac{{11{t^2} - 2t + 1}}{{11{t^2} - 2t + 5}} = 1 - \frac{4}{{11{t^2} - 2t + 5}}\).
Ta thấy \(\widehat {AMB}\) lớn nhất khi \(\cos \widehat {AMB}\) bé nhất; suy ra \(1 - \frac{4}{{11{t^2} - 2t + 5}}\) bé nhất.
Khi đó \(\frac{4}{{11{t^2} - 2t + 5}}\) lớn nhất nên \(11{t^2} - 2t + 5 = 11{\left( {t - \frac{1}{{11}}} \right)^2} + \frac{{54}}{{11}}\) bé nhất; suy ra \(t = \frac{1}{{11}}\).
Ta tìm được điểm \(M\left( {\frac{{14}}{{11}}\,;\,\, - \frac{1}{{11}}\,;\,\,\frac{1}{{11}}} \right)\), suy ra \(a = \frac{{14}}{{11}}\,;\,\,b = - \frac{1}{{11}}\,;\,\,c = \frac{1}{{11}} \Rightarrow S = 11a + b + c = 11 \cdot \frac{{14}}{{11}} = 14\).
Đáp án: 14.
Lời giải
Lời giải
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi phương trình chính tắc hypebol \(\left( H \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > 0\,,\,\,b > 0} \right)\).
Đường chéo hình vuông nhỏ nhất là \(2a = 0,5\sqrt 2 \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Ta có \(\tan 30^\circ = \frac{a}{b} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}}{b} \Rightarrow b = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\). Do vậy \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{8}}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{3}{8}}} = 1\) hay \(8{x^2} = 1 + \frac{{8{y^2}}}{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt {\frac{1}{8} + \frac{{{y^2}}}{3}} \).
Xét mặt cắt vuông góc với Oy của cái bục tại vị trí có hoành độ \(x > 0\) thì ta thu được hình vuông có cạnh \(\frac{{2x}}{{\sqrt 2 }} = x\sqrt 2 = \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{{2{y^2}}}{3}} \).
Với \(x = \frac{{1 \cdot \sqrt 2 }}{2}\) (xét hình vuông mặt trên cùng của cái bục); ta có \(y = \frac{{3\sqrt 2 }}{4} > 0\).
Với \(x = \frac{{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }}{2} = 1\) (xét hình vuông mặt đáy dưới của cái bục); ta có \(y = - \frac{{\sqrt {42} }}{4} < 0\).
Thể tích cái bục là \(V = 1 \cdot 1 \cdot 0,05 + \sqrt 2 \cdot \sqrt 2 \cdot 0,2 + \int\limits_{\frac{{ - \sqrt {42} }}{4}}^{\frac{{3\sqrt 2 }}{4}} {\left( {\frac{1}{4} + \frac{{2{y^2}}}{3}} \right){\rm{d}}y} \approx 2,33\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
Đáp án: 2,33.
Câu 3
A. Tổng tiến công và nổi dậy Xuân 1968.
B. Chiến dịch Việt Bắc năm 1947.
C. Chiến dịch Điện Biên Phủ năm 1954
D. Tổng tiến công và nổi dậy Xuân 1975.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Từ giành độc lập đến bảo vệ chế độ dân chủ và xây dựng chủ nghĩa xã hội.
Từ tiến hành cách mạng dân chủ đến hoàn thành cách mạng giải phóng dân tộc.
Từ xây dựng và bảo vệ chế độ dân chủ đến hoàn thành cách mạng xã hội chủ nghĩa.
Từ xây dựng chế độ dân chủ đến hoàn thành cách mạng dân tộc dân chủ nhân dân.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập