Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\), \(B\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,x + y + 2z - 3 = 0\) là

Lời giải

Vì \[AB \bot \left( P \right)\] nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3;4} \right)\], do đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \[2x - 3y + 4z + d = 0\].

Từ đây tìm được \[D\left( { - \frac{d}{2};0;0} \right)\], \[E\left( {0;\frac{d}{3};0} \right)\], \[F\left( {0;0; - \frac{d}{4}} \right)\] suy ra \[OD = \frac{{\left| d \right|}}{2}\], \[OE = \frac{{\left| d \right|}}{3}\], \[OF = \frac{{\left| d \right|}}{4}\].

Mặt khác tứ diện \[ODEF\] có \[OD,OE,OF\] đôi một vuông góc nên

\[{V_{ODEF}} = \frac{1}{6}OD \cdot OE \cdot OF\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\left| d \right|} \right)}^3}}}{{144}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left| d \right| = 6 \Leftrightarrow d =  \pm 6\].

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \[2x - 3y + 4z \pm 6 = 0\]. Chọn D.

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {m - 1; - \frac{{3m}}{2};1 - 3m} \right)\).

Ta có \(R = \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{3m}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3m} \right)}^2} + 7}  = \sqrt {\frac{{49{m^2}}}{4} - 8m + 9}  = \sqrt {{{\left( {\frac{7}{2}m - \frac{8}{7}} \right)}^2} + \frac{{377}}{{49}}}  \ge \frac{{\sqrt {377} }}{7}\).

Vậy \[{R_{\min }} = \frac{{\sqrt {377} }}{7} \Leftrightarrow m = \frac{{16}}{{49}}\]. Chọn B.