Một cái bục bằng gỗ dùng để đặt đồ trang trí có mặt đáy trên và mặt đáy dưới đều là hình vuông, người thợ thiết kế cái bục này theo ba phần:

Phần trên cùng là một hình hộp chữ nhật có các kích thước là 1 m; 1 m; 0,05 m.

Phần đế của bục cũng là hình hộp chữ nhật có các kích thước là \(\sqrt 2 \,\,{\rm{m}}\,;\,\,\sqrt 2 \,\,{\rm{m}}\,;\,\,0,2\,\,{\rm{m}}\).

Phần thân (giữa) của bục có mặt cắt theo hai đường chéo của đáy trên và đáy dưới là đường hypebol mà các đường tiệm cận của hypebol này tạo với trục đứng một góc bằng \(30^\circ \).

Biết rằng mặt cắt của bục song song với hai đáy tại vị trí có kích thước hình vuông bé nhất bằng 0,5 m. Tìm thể tích của cái bục đã cho theo đơn vị mét khối và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải

Ta có \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(MA = MB\) nên \(M\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\), trong đó \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua trung điểm \(I\left( {2\,;\,\,1\,;\,\, - 1} \right)\) của AB, vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0\,;\,\, - 2\,;\,\, - 2} \right)\) nên có phương trình \(0\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0\,\,{\rm{hay}}\,\,y + z = 0\).

Gọi \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\); từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z - 1 = 0\\y + z = 0\end{array} \right.\), đặt \(z = t\) ta có phương trình tham số đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y =  - t\\z = t\end{array} \right.\).

Gọi \(M\left( {1 + 3t\,;\,\, - t\,;\,\,t} \right) \in d\); suy ra \(\overrightarrow {AM}  = \left( {3t - 1\,;\,\, - t - 2\,;\,\,t} \right)\,,\,\,\overrightarrow {BM}  = \left( {3t - 1\,;\,\, - t\,;\,\,t + 2} \right)\).

Ta có: \(\cos \widehat {AMB} = \cos \left( {\overrightarrow {AM} \,,\,\,\overrightarrow {BM} } \right) = \frac{{{{\left( {3t - 1} \right)}^2} + 2\left( {{t^2} + 2t} \right)}}{{{{\left( {3t - 1} \right)}^2} + {t^2} + {{\left( {t + 2} \right)}^2}}} = \frac{{11{t^2} - 2t + 1}}{{11{t^2} - 2t + 5}} = 1 - \frac{4}{{11{t^2} - 2t + 5}}\).

Ta thấy \(\widehat {AMB}\) lớn nhất khi \(\cos \widehat {AMB}\) bé nhất; suy ra \(1 - \frac{4}{{11{t^2} - 2t + 5}}\) bé nhất.

Khi đó \(\frac{4}{{11{t^2} - 2t + 5}}\) lớn nhất nên \(11{t^2} - 2t + 5 = 11{\left( {t - \frac{1}{{11}}} \right)^2} + \frac{{54}}{{11}}\) bé nhất; suy ra \(t = \frac{1}{{11}}\).

Ta tìm được điểm \(M\left( {\frac{{14}}{{11}}\,;\,\, - \frac{1}{{11}}\,;\,\,\frac{1}{{11}}} \right)\), suy ra \(a = \frac{{14}}{{11}}\,;\,\,b =  - \frac{1}{{11}}\,;\,\,c = \frac{1}{{11}} \Rightarrow S = 11a + b + c = 11 \cdot \frac{{14}}{{11}} = 14\).

Đáp án: 14.

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\), \(B\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1\,;\,2\,;\,2} \right)\) và \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\).

Do đó \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là: \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right] = \left( {2\,;\,4\,;\, - 3} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và nhận \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2\,;\,4\,;\, - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình: \(2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y + 1} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4y - 3z = 0\). Chọn B.