Đề thi Đánh giá năng lực Bộ Công an môn Toán (có đáp án) - Đề số 3

Lời giải

TXĐ của hàm số là: \[{\rm{D}} = \mathbb{R}\].

Ta có \[y' = 3{x^4} - 12{x^3} + 12{x^2} = 3{x^2}{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0{\rm{ }}{\rm{, }}\forall x \in \mathbb{R}\]. Chọn B.

Lời giải

Ta có \(\int {\frac{{3{x^3} - 2{x^2} + 5}}{x}{\rm{d}}x = \int {\left( {3{x^2} - 2x + \frac{5}{x}} \right){\rm{d}}x = 3\int {{x^2}{\rm{d}}x - 2\int {x{\rm{d}}x}  + 5\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} } } }  = {x^3} - {x^2} + 5\ln \left| x \right| + C\). Chọn D.

Lời giải

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có đường tiệm cận đứng \(x = 1\) và đường tiệm cận ngang \(y = 2\).

Gọi A là giao điểm của tiệm cận đứng với Ox, suy ra \(OA = 1\).

Gọi B là giao điểm của tiệm cận ngang với Oy, suy ra \(OB = 2\).

Hình chữ nhật cần tính diện tích là hình chữ nhật OAIB với \(I\left( {1\,;\,\,2} \right)\) là tâm đối xứng đồ thị.

Diện tích hình chữ nhật ABCD là \(S = OA \cdot OB = 2\). Chọn A.

Lời giải

Ta có \({\log _{2000}}15000 = \frac{{{{\log }_{30}}15000}}{{{{\log }_{30}}2000}} = \frac{{{{\log }_{30}}150 + 2{{\log }_{30}}10}}{{{{\log }_{30}}2 + 3{{\log }_{30}}10}}\)   \(\left( 1 \right)\).

Ta có \(a = {\log _{30}}10 = {\log _{30}}5 + {\log _{30}}2 \Rightarrow {\log _{30}}2 = a - {\log _{30}}5\) \(\left( 2 \right)\).

\(b = {\log _{30}}150 = 1 + {\log _{30}}5 \Rightarrow {\log _{30}}5 = b - 1\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được \({\log _{30}}2 = a - b + 1\)

Khi đó \({\log _{2000}}1500 = \frac{{b + 2a}}{{a - b + 1 + 3a}} = \frac{{2a + b}}{{4a - b + 1}}\).

Suy ra \(S = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Chọn A.

Lời giải

Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Ta có \({\vec u_d} = \left( {5;1;0} \right)\) và \({\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {3; - 2;0} \right)\).

Khi đó \[\sin \varphi  = \left| {\cos \left( {{{\vec u}_d},{{\vec n}_{\left( P \right)}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\vec u}_d} \cdot {{\vec n}_{\left( P \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_d}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_{\left( P \right)}}} \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi  = 45^\circ .\] Chọn B.

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow M  = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {yc - bz;az - cx;bx - ay} \right)\).

\(\overrightarrow {OP'}  = 2\overrightarrow {OP} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {OP'}  = \left( {2x;2y;2z} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {M'}  = \left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {2yc - 2bz;2az - 2cx;2bx - 2ay} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {M'}  = 2\left( {cy - bz;az - cx;bx - ay} \right) = 2\overrightarrow M \). Vậy \(k = 2\). Chọn B.

Lời giải

Gắn hình vẽ vào hệ trục \(Oxy\) sao cho \(I\) trùng với gốc tọa độ và parabol có trục đối xứng là trục \(Oy\). Khi đó, phương trình của parabol là \(y =  - \frac{{{x^2}}}{6}\).

Diện tích của bức tranh bằng diện tích hình \(MNEIF\) và bằng:

\(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| { - \frac{{{x^2}}}{6} + 6} \right|} \,{\rm{d}}x = 2\int\limits_0^2 {\left( {6 - \frac{{{x^2}}}{6}} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {2\left( {6x - \frac{{{x^3}}}{{18}}} \right)} \right|_0^2 = 24 - \frac{8}{9} = \frac{{208}}{9}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Biết kinh phí làm bức tranh là \[900\,000\] đồng\[{\rm{/ }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\].

Vậy công ty \(X\) cần số tiền để làm bức tranh đó là: \(\frac{{208}}{9}\, \times 900\,000 = 20\,800\,000\)đồng. Chọn C.

Lời giải

Ta có \(y' = 3{x^2} + 4x + m - 3\), để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)\( \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{3}\left( * \right)\).

Ta có \(y = y' \cdot \left( {\frac{1}{3}x + \frac{2}{9}} \right) + \left( {\frac{{2m}}{3} - \frac{{26}}{9}} \right)x + \frac{{7m}}{9} + \frac{2}{3}\) nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = \left( {\frac{{2m}}{3} - \frac{{26}}{9}} \right)x + \frac{{7m}}{9} + \frac{2}{3}.\) Theo giả thiết, đường thẳng này đi qua \(M\left( {9;\, - 5} \right)\)nên \(m = 3\) (thỏa mãn điều kiện \[\left( * \right)\]). Chọn D.