Một công ty quảng cáo \(X\) muốn làm một bức tranh trang trí hình \(MNEIF\) ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều cao \(BC = 6\,{\rm{m}}\), chiều dài \(CD = 12\,{\rm{m}}\). Cho biết \(MNEF\) là hình chữ nhật có \(MN = 4\,{\rm{m}}\); cung \(EIF\) có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh \(I\) là trung điểm của cạnh \(AB\) và đi qua hai điểm \(C,\,D\). Kinh phí làm bức tranh là \[900\,000\] đồng\[{\rm{/ }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]. Hỏi công ty \(X\) cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

Gọi \(P\) là trung điểm \(BC\) và \(E = NP \cap AC\).

Khi đó: \(PN{\rm{//}}BD \Rightarrow BD{\rm{//}}\left( {MNP} \right)\).

Suy ra: \(d\left( {BD,MN} \right) = d\left( {BD,\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {MNP} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {MNP} \right)} \right)\).

Kẻ\(AK \bot ME\,\,\left( {K \in ME} \right)\).

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AK \Rightarrow PN \bot AK\,\).

Suy ra: \(AK \bot \left( {MNP} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {MNP} \right)} \right) = AK.\)

Xét tam giác vuông \[SAC\] có: \[SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}}  = 10\sqrt 3 \,\]\[ \Rightarrow MA = 5\sqrt 3 \].

Tam giác vuông \(MAE\) có \(MA = 5\sqrt 3 ;\,AE = \frac{3}{4}AC = \frac{{15\sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra: \(AK = \frac{{MA.AE}}{{\sqrt {M{A^2} + A{E^2}} }} = 3\sqrt 5 \,\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Vậy \(d\left( {BD,MN} \right) = \frac{1}{3}AK = \sqrt 5 \,\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Chọn B.

Gọi \({d_1}\,,\,\,{d_2}\) lần lượt là các tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(A\,,\,\,B\), khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{d_1}:y = 2ax - {a^2}}\\{{d_2}:y = 2bx - {b^2}}\end{array}} \right.\).

Do \({d_1} \bot {d_2}\) nên \(2a \cdot 2b =  - 1 \Rightarrow b =  - \frac{1}{{4a}} \Rightarrow B\left( { - \frac{1}{{4a}}\,;\,\,\frac{1}{{16{a^2}}}} \right)\), khi đó \({d_2}:y =  - \frac{x}{{2a}} - \frac{1}{{16{a^2}}}\).

Gọi \(E = {d_2} \cap {d_1}\), suy ra \(E\left( {\frac{{4{a^2} - 1}}{{8a}}\,;\,\, - \frac{1}{4}} \right)\); \(EA = \frac{{\sqrt {{{\left( {4a + 1} \right)}^3}} }}{{8a}}\,;\,\,EB = \frac{{\sqrt {{{\left( {4a + 1} \right)}^3}} }}{{16{a^2}}}\).

Ta có \(EA = 2EB\); suy ra \(a = 1\). Do đó diện tích mảnh đất .

Khi đó phương trình \({d_1}:y = 2x - 1\,;\,\,{d_2}:y =  - \frac{x}{2} - \frac{1}{{16}}\) và \(A\left( {1\,;\,\,1} \right)\,,\,\,B\left( { - \frac{1}{4}\,;\,\,\frac{1}{{16}}} \right)\,,\,\,E\left( {\frac{3}{8}\,;\,\, - \frac{1}{4}} \right)\).

Diện tích  và .

Tổng số tiền thu được của ông Vượng sau vụ hè thu là:

\(\frac{{625}}{{768}} \times {10^2} \times 30 + \frac{{125}}{{768}} \times {10^2} \times 40 \approx 309\,244\) nghìn đồng  triệu đồng.

Đáp án: 309.