Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác cân tại \[C\], biết \[\widehat {BAC} = 30^\circ \], \[AB = a\sqrt 3 ,\] \[AA' = 2a\]. Gọi \[D\] là trung điểm \[BB'\]. Tính theo \[a\] thể tích khối chóp \[A.BCC'D\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Vì \[ABC\] là tam giác cân tại \[C\] nên \[\widehat {BAC} = \widehat {ABC} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {BCA} = 120^\circ \].
Theo định lí côsin ta có \[A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} - 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos C \Leftrightarrow 3{a^3} = 2C{A^2} + 2C{A^2} \cdot \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow C{A^2} = {a^2} \Rightarrow CA = CB = a.\]
Diện tích tam giác \[ABC\] là \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}.\]
Thể tích khối lăng trụ là \[{V_{ABC.A'B'C'}} = AA' \cdot {S_{\Delta ABC}} = 2a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^3}.\]
Ta có \[\frac{{{V_{A.BCC'B'}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {V_{A.BCC'B'}} = \frac{2}{3} \cdot {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}.\]
\[\frac{{{V_{A.BCC'D}}}}{{{V_{A.BCC'B'}}}} = \frac{{{S_{BCC'D}}}}{{{S_{BCC'B'}}}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {V_{A.BCC'D}} = \frac{3}{4} \cdot {V_{A.BCC'B'}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}.\]Chọn D.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Lời giải
Ta có: \[d\left( {A\,,\,\,\left( P \right)} \right) + d\left( {B\,,\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {120 + 15 + 30 - 25} \right|}}{{\sqrt {9 + 1 + 4} }} + \frac{{\left| {165 + 10 + 130 - 25} \right|}}{{\sqrt {9 + 1 + 4} }} = 30\sqrt {14} \] (m). Chọn B.
Câu 2
Lời giải
Lời giải
Ta có \[y = \frac{{2{x^2} + 3mx - m + 2}}{{x - 1}} = 2x + 3m + 2 + \frac{{2m + 4}}{{x - 1}}\].
Với \(m = - 2\) thì hàm số trở thành \(y = 2x - 4\). Đây là hàm số bậc nhất nên không có tiệm cận.
Với \(m \ne - 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {2x + 3m + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2m + 4}}{{x + 2}} = 0\).
Do đó với \(m \ne - 2\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \(\Delta \): \(y = 2x + 3m + 2\).
\(\Delta \) cắt trục hoành tại điểm \(A\left( {\frac{{ - 3m - 2}}{2};0} \right)\) và cắt trục tung tại \(B\left( {0;3m + 2} \right)\).
Từ đó \(OA = \frac{{\left| { - 3m - 2} \right|}}{2} = \frac{{\left| {3m + 2} \right|}}{2},\,\,\,OB = \left| {3m + 2} \right|\).
Theo giả thiết \({S_{OAB}} = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2}OA \cdot OB = 4 \Leftrightarrow \frac{{\left| {3m + 2} \right|}}{2} \cdot \left| {3m + 2} \right| = 8 \Leftrightarrow {\left( {3m + 2} \right)^2} = 16\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 2 = - 4\\3m + 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\left( {{\rm{loai}}} \right)\\m = \frac{2}{3}\end{array} \right.\].
Vậy giá trị \(m\) cần tìm là \[m = \frac{2}{3}\]. Chọn D.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập