Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + m\) có hai điểm cực trị và điểm \(M\left( {9;\, - 5} \right)\) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

Gọi \(P\) là trung điểm \(BC\) và \(E = NP \cap AC\).

Khi đó: \(PN{\rm{//}}BD \Rightarrow BD{\rm{//}}\left( {MNP} \right)\).

Suy ra: \(d\left( {BD,MN} \right) = d\left( {BD,\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {MNP} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {MNP} \right)} \right)\).

Kẻ\(AK \bot ME\,\,\left( {K \in ME} \right)\).

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AK \Rightarrow PN \bot AK\,\).

Suy ra: \(AK \bot \left( {MNP} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {MNP} \right)} \right) = AK.\)

Xét tam giác vuông \[SAC\] có: \[SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}}  = 10\sqrt 3 \,\]\[ \Rightarrow MA = 5\sqrt 3 \].

Tam giác vuông \(MAE\) có \(MA = 5\sqrt 3 ;\,AE = \frac{3}{4}AC = \frac{{15\sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra: \(AK = \frac{{MA.AE}}{{\sqrt {M{A^2} + A{E^2}} }} = 3\sqrt 5 \,\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Vậy \(d\left( {BD,MN} \right) = \frac{1}{3}AK = \sqrt 5 \,\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Chọn B.

Gọi \({d_1}\,,\,\,{d_2}\) lần lượt là các tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(A\,,\,\,B\), khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{d_1}:y = 2ax - {a^2}}\\{{d_2}:y = 2bx - {b^2}}\end{array}} \right.\).

Do \({d_1} \bot {d_2}\) nên \(2a \cdot 2b =  - 1 \Rightarrow b =  - \frac{1}{{4a}} \Rightarrow B\left( { - \frac{1}{{4a}}\,;\,\,\frac{1}{{16{a^2}}}} \right)\), khi đó \({d_2}:y =  - \frac{x}{{2a}} - \frac{1}{{16{a^2}}}\).

Gọi \(E = {d_2} \cap {d_1}\), suy ra \(E\left( {\frac{{4{a^2} - 1}}{{8a}}\,;\,\, - \frac{1}{4}} \right)\); \(EA = \frac{{\sqrt {{{\left( {4a + 1} \right)}^3}} }}{{8a}}\,;\,\,EB = \frac{{\sqrt {{{\left( {4a + 1} \right)}^3}} }}{{16{a^2}}}\).

Ta có \(EA = 2EB\); suy ra \(a = 1\). Do đó diện tích mảnh đất .

Khi đó phương trình \({d_1}:y = 2x - 1\,;\,\,{d_2}:y =  - \frac{x}{2} - \frac{1}{{16}}\) và \(A\left( {1\,;\,\,1} \right)\,,\,\,B\left( { - \frac{1}{4}\,;\,\,\frac{1}{{16}}} \right)\,,\,\,E\left( {\frac{3}{8}\,;\,\, - \frac{1}{4}} \right)\).

Diện tích  và .

Tổng số tiền thu được của ông Vượng sau vụ hè thu là:

\(\frac{{625}}{{768}} \times {10^2} \times 30 + \frac{{125}}{{768}} \times {10^2} \times 40 \approx 309\,244\) nghìn đồng  triệu đồng.

Đáp án: 309.