Đề thi Đánh giá năng lực Bộ Công an môn Toán (có đáp án) - Đề số 2

 Nguyên hàm của \[y = \sin x \cdot \sin 7x\] với \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\] là

Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên \[\mathbb{R}\]?

Cho các số dương \(a,b,c\) khác \(1\) thỏa mãn \[{\log _a}\left( {bc} \right) = 2,\] \[lo{g_b}\left( {ca} \right) = 4\]. Tính giá trị của biểu thức \({\log _c}\left( {ab} \right)\) ta được kết quả là

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({d_2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\) bằng

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \frac{2}{3}\) có hai điểm cực trị có hoành độ \(x{}_1\), \({x_2}\) sao cho \({x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\).

Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {{m^2} + m + 2} \right)x + {m^2} + 3}}{{x + 1}}\) (1), \(m\) là tham số thực. Giá trị của \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường tiệm cận xiên là nhỏ nhất là

Độ sâu \(h\left( {\rm{m}} \right)\) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm \(t\) sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức \(h\left( t \right) = 0,8\cos 0,5t + 5\). Một con tàu cần mực nước sâu \(4,6\,{\rm{m}}\) để có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Hỏi có bao nhiêu thời điểm trong vòng 12 tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày tàu có thể hạ thủy?

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\], các cạnh bên đều bằng \[a\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \[CD\]. Côsin của góc giữa hai đường thẳng \[SM\] và \[AC\] bằng

Chiều cao của hai loài hoa được một người thống kê theo biểu đồ sau:

Gọi tứ phân vị thứ nhất của chiều cao của loài hoa \(A\) và loài hoa \(B\) lần lượt là \({Q_{1A}}\) và \({Q_{1B}}\). Khi đó \({Q_{1A}} + {Q_{1B}}\) có kết quả nào trong các kết quả sau?

Có ba lớp \[10A,10B,10C\] gồm \(128\) em học sinh cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em học sinh lớp \[10A\] trồng được \(3\) cây bạch đàn và \(4\) cây bàng. Mỗi em học sinh lớp \[10B\] trồng được \(2\) cây bạch đàn và \(5\) cây bàng. Mỗi em học sinh lớp \[10C\] trồng được \(6\) cây bạch đàn. Cả \(3\) lớp trồng được \(476\) cây bạch đàn và \(375\) cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác \(ABC\) được gọi là tam giác trung bình của tam giác \(ABC\).

Ta xây dựng dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...\) sao cho \({A_1}{B_1}{C_1}\) là một tam giác đều cạnh bằng \(3\) và với mỗi số nguyên dương \(n \ge 2\), tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác trung bình của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}\). Với mỗi số nguyên dương \(n\), kí hiệu \({S_n}\) tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\).

Cho phương trình \(2m \cdot {2^{{x^2} - 5x + 5}} + {2^{1 - {x^2}}} - 2 \cdot {2^{6 - 5x}} = m\). Tìm m để phương trình đã cho có \(4\) nghiệm phân biệt.

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = \sqrt {{e^x} - x} ,\)\(y = 0\,,\,\,x = 1\,,\,\,x = 2\) xung quanh trục Ox là

Một chất điểm \(A\) xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v\left( t \right) = \frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính từ lúc \(A\) bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \(B\) cũng xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng cùng hướng với \(A\) nhưng chậm hơn \(3\) giây so với \(A\) và có gia tốc bằng \(a\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\) (\(a\) là hằng số). Sau khi \(B\) xuất phát được \(15\) giây thì đuổi kịp \(A\). Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + 3a + at\\y = 4 + 3b + bt\\z = 4 + 6a - 6b + 2\left( {a - b} \right)t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu tâm \(O\), có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với \(\Delta \). Khi đó \(\left( S \right)\) đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\) cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\). Phương trình đường phân giác \(d\) của góc nhọn tạo bởi \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) và nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang và được đánh số thứ tự từ 1 đến 6. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp \(A\), 2 học sinh lớp \(B\) và 1 học sinh lớp \(C\), ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để các học sinh lớp \(A\) ngồi vào những ghế có số thứ tự cách đều nhau và học sinh lớp \(C\) chỉ ngồi cạnh học sinh lớp \(B\) là

Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 60^\circ ,\,\,AB = 3a\) và \(AC = 4a.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C',\) biết khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {B'AC} \right)\) bằng \(\frac{{3a\sqrt {15} }}{{10}}.\) Thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho là

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), có tất cả bao nhiêu giá nguyên của \(m\) để\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m - 1} \right)z + 3{m^2} - 5 = 0\) là phương trình một mặt cầu?

 Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \[A\left( {0;1;1} \right)\], \(B\left( {1;0;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng song song với \(\left( P \right)\) đồng thời đường thẳng \(AB\) cắt \(\left( Q \right)\) tại \(C\) sao cho \(CA = 2CB\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là