Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \frac{2}{3}\) có hai điểm cực trị có hoành độ \(x{}_1\), \({x_2}\) sao cho \({x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\).
Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \frac{2}{3}\) có hai điểm cực trị có hoành độ \(x{}_1\), \({x_2}\) sao cho \({x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử ĐGNL Bộ Công an năm 2026 - Đề số 2 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có \[y' = 2{x^2} - 2mx - 2\left( {3{m^2} - 1} \right) = 2\left( {{x^2} - mx - 3{m^2} + 1} \right)\], đặt \(g\left( x \right) = {x^2} - mx - 3{m^2} + 1\) có \(\Delta = 13{m^2} - 4\).
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \(y'\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \)\(g\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)\(\Delta > 0\)\( \Leftrightarrow \) \[\left[ \begin{array}{l}m > \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\\m < - \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\end{array} \right.\]. (*)
\({x_1}\), \({x_2}\) là các nghiệm của \(g\left( x \right)\) nên theo định lý Viète, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - 3{m^2} + 1\end{array} \right.\].
Do đó \[{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\]\( \Leftrightarrow \)\[ - 3{m^2} + 2m + 1 = 1\] \( \Leftrightarrow \)\[ - 3{m^2} + 2m = 0\]\( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \frac{2}{3}\end{array} \right.\).
Đối chiếu với điều kiện (*), ta thấy chỉ \(m = \frac{2}{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. Việt Nam Quang phục hội.
B. Đảng Cộng sản Việt Nam.
C. Việt Nam Độc lập Đồng minh.
D. Đông Dương Cộng sản đảng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Theo tư liệu, Đảng Cộng sản Việt Nam là sản phẩm của sự kết hợp giữa chủ nghĩa Mác - Lênin với phong trào công nhân và phong trào yêu nước. Tổ chức này do Nguyễn Ái Quốc sáng lập năm 1930. => Chọn B.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
Gọi C là hình chiếu vuông góc của A (vị trí chiến sĩ xuất phát) đối với bờ bên kia và D thuộc đoạn BC là vị trí mà chiến sĩ sẽ bơi đến trước khi chạy bộ tấn công mục tiêu tại A.
Ta chuẩn hóa bài toán như sau: 1 đơn vị độ dài = 100 m; khi đó \[AC = 1\,,\,\,AB = 10\].
Vận tốc bơi trên sông của chiến sĩ là 1 (đơn vị vận tốc); vận tốc chạy của chiến sĩ là 3 (đơn vị vận tốc).
Đặt \[AD = x \in \left( {1\,;\,\,10} \right) \Rightarrow CD = \sqrt {{x^2} - 1} \];\[BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = 3\sqrt {11} \]; \[BD = BC - CD = 3\sqrt {11} - \sqrt {{x^2} - 1} \].
Tổng thời gian từ khi chiến sĩ xuất phát đến khi tiếp cận mục tiêu là:
\[t = \frac{{AD}}{1} + \frac{{BD}}{3} = \frac{x}{1} + \frac{{3\sqrt {11} - \sqrt {{x^2} - 1} }}{3} = \sqrt {11} - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + x\].
Xét hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {11} - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + x\]; \[x \in \left( {1\,;\,\,10} \right)\]; \[f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{3}\frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\];
\[f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = 3 \Rightarrow 3\sqrt {{x^2} - 1} = x\]\[ \Rightarrow 9{x^2} - 9 = {x^2} \Rightarrow x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4} > 0\].
Bảng biến thiên:
Chiến sĩ tiếp cận mục tiêu nhanh nhất khi \[AD = x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\].
Do đó chiến sĩ phải bơi một đoạn \[AD \times 100 = \frac{{3\sqrt 2 }}{4} \times 100 = 75\sqrt 2 \,{\rm{m}}\]. Chọn C.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập