Một chất điểm \(A\) xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v\left( t \right) = \frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính từ lúc \(A\) bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \(B\) cũng xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng cùng hướng với \(A\) nhưng chậm hơn \(3\) giây so với \(A\) và có gia tốc bằng \(a\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\) (\(a\) là hằng số). Sau khi \(B\) xuất phát được \(15\) giây thì đuổi kịp \(A\). Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng

Lời giải

Gọi \[N\] là trung điểm của \[AD\]. Khi đó \[MN\,{\rm{//}}\,AC\] nên \[\left( {SM,AC} \right) = \left( {SM,MN} \right)\].

\[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\]\[ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \]\[ \Rightarrow MN = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].

\[\Delta SCD\] là tam giác đều cạnh \[a\]\[ \Rightarrow SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

\[\Delta SAD\] là tam giác đều cạnh \[a\]\[ \Rightarrow SN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

\[SM = SN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] \[ \Rightarrow \Delta SMN\] cân tại \[S\]\[ \Rightarrow \widehat {SMN} < 90^\circ \].

Vậy \[\left( {SM,AC} \right) = \left( {SM,MN} \right) = \widehat {SMN}\].

Trong \[\Delta SMN\], ta có: \[\cos \widehat {SMN} = \frac{{S{M^2} + M{N^2} - S{N^2}}}{{2SM.SN}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\].

Vậy \[\cos \left( {SM,AC} \right) = \cos \widehat {SMN} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\]. Chọn C.

Lời giải

Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là

\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {\sqrt {{e^x} - x} } \right)}^2}} {\rm{d}}x = \pi \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} - x} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\pi \left( {{e^x} - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_1^2 = \pi \left[ {\left( {{e^2} - \frac{1}{2} \cdot {2^2}} \right) - \left( {{e^1} - \frac{1}{2} \cdot {1^2}} \right)} \right] = \pi \left( {{e^2} - e - \frac{3}{2}} \right)\). Chọn A.