Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\) cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\). Phương trình đường phân giác \(d\) của góc nhọn tạo bởi \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) và nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Lời giải

Nhận thấy \(A\left( { - 1;\,2;\, - 1} \right)\) là giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

\({\Delta _1}\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;\,2;\,3} \right)\); \({\Delta _2}\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;\,2;\, - 3} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 12;\,6;\,0} \right) =  - 6\left( {2;\, - 1;\,0} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(2x - y + 4 = 0\).

Gọi \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right)\) là VTCP của \(d\) cần tìm.

Ta có \(d\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow u  \bot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)\( \Rightarrow 2a - b = 0\)\( \Rightarrow b = 2a\).

Lại có \(d\) là phân giác của \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\)\( \Rightarrow \cos \left( {d,\,{\Delta _1}} \right) = \cos \left( {d,\,{\Delta _2}} \right)\)\( \Rightarrow \frac{{\left| {a + 2b + 3c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}  \cdot \sqrt {14} }} = \frac{{\left| {a + 2b - 3c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}  \cdot \sqrt {14} }}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 2b + 3c = a + 2b - 3c\\a + 2b + 3c =  - a - 2b + 3c\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0 & \left( 1 \right)\\a + 2b = 0 & \left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Xét \(\left( 1 \right)\): \(c = 0\), \(b = 2a\)\( \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {a;\,2a;\,0} \right) = \left( {1;\,2;\,0} \right)\)\( \Rightarrow d:\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2 + 2t\\z =  - 1\end{array} \right.,\,t \in \mathbb{R}\).

Khi đó, \(\cos \left( {{\Delta _1},\,d} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {14}  \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {70} }}{{14}}\)\( \Rightarrow \left( {{\Delta _1},\,d} \right) \approx 53^\circ 18'\).

Xét \(\left( 2 \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 0\\b = 2a\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {0;\,0;\,c} \right) = c\left( {0;\,0;\,1} \right)\)\( \Rightarrow d:\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 2\\z =  - 1 + t\end{array} \right.,\,t \in \mathbb{R}\).

Khi đó, \(\cos \left( {{\Delta _1},\,d} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{{\sqrt {14}  \cdot 1}} = \frac{3}{{\sqrt {14} }}\)\( \Rightarrow \left( {{\Delta _1},\,d} \right) \approx 36^\circ 42'\).

Do \(d\) là đường phân giác của góc nhọn nên \(\left( {{\Delta _1},d} \right) < 45^\circ \).

Vậy đường thẳng \(d\)cần tìm là \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 2\\z =  - 1 + t\end{array} \right.,\,t \in \mathbb{R}\). Chọn D.

Nhận xét: Có thể làm đơn giản hơn bằng cách: ta thấy \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;\,2;\,3} \right)\); \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;\,2;\, - 3} \right)\)là hai vectơ có độ dài bằng nhau và \(\overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{u_2}}  < 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) > 90^\circ \). Vậy \(\left( {\overrightarrow {{u_1}}  - \overrightarrow {{u_2}} } \right)\) chính là vectơ chỉ phương của \(d\).