Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + 3a + at\\y = 4 + 3b + bt\\z = 4 + 6a - 6b + 2\left( {a - b} \right)t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu tâm \(O\), có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với \(\Delta \). Khi đó \(\left( S \right)\) đi qua điểm nào sau đây?

Lời giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + 3a + at\\y = 4 + 3b + bt\\z = 4 + 6a - 6b + 2\left( {a - b} \right)t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9 + a \cdot \left( {3 + t} \right)\\y = 4 + b \cdot \left( {3 + t} \right)\\z = 4 + \left( {2a - 2b} \right) \cdot \left( {3 + t} \right)\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Đặt \(s = 3 + t,\,\,s \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + as\\y = 4 + bs\\z = 4 + \left( {2a - 2b} \right)s\end{array} \right.\left( {s \in \mathbb{R}} \right)\).

Nhận xét \(\Delta \) luôn đi qua điểm \(A\left( {9;\,4;\,4} \right)\) điểm cố định và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {a\,;\,b\,;\,2a - 2b} \right)\).

Gọi \[\overrightarrow n  = \left( {m\,;\,n\,;\,l} \right) \bot \overrightarrow u \,\,,\,\,\forall a\,,\,b\]\[\left( {{m^2} + {n^2} + {l^2} > 0} \right)\].

Ta có \[ma\, + \,nb\, + 2la - 2lb = 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {m + 2l} \right)a + \left( {n - 2l} \right)b = 0,\] đúng \[\forall a,\,b\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2l = 0\\n - 2l = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 2l\\n = 2l\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - 2l\,;\,2l\,;\,l} \right) =  - l\left( {2\,;\, - 2\,;\, - 1} \right).\]

Do đó \(\Delta \) luôn nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {9;\,4;\,4} \right)\)và có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;\, - 2;\, - 1} \right).\] Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z - 6 = 0\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\Delta \).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( P \right)\).

Ta có \(OH \le OK \le OA\).

\(O{K_{\min }} = OH = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\).

\(O{K_{\min }}\) khi \(K \equiv H\)\( \Rightarrow \)\(\Delta  \equiv AH\)\( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\) tiếp xúc \(\Delta \) có bán kính nhỏ nhất là \(2\).

Phương trình mặt cầu tâm \(O\) bán kính bằng \(2\) có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\).

\( \Rightarrow \)\(\left( S \right)\) luôn đi qua điểm \(K\left( {\frac{1}{2};\, - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\sqrt 3 } \right)\). Chọn A.