Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác \(ABC\) được gọi là tam giác trung bình của tam giác \(ABC\).
Ta xây dựng dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...\) sao cho \({A_1}{B_1}{C_1}\) là một tam giác đều cạnh bằng \(3\) và với mỗi số nguyên dương \(n \ge 2\), tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác trung bình của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}\). Với mỗi số nguyên dương \(n\), kí hiệu \({S_n}\) tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\).
Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác \(ABC\) được gọi là tam giác trung bình của tam giác \(ABC\).
Ta xây dựng dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...\) sao cho \({A_1}{B_1}{C_1}\) là một tam giác đều cạnh bằng \(3\) và với mỗi số nguyên dương \(n \ge 2\), tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác trung bình của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}\). Với mỗi số nguyên dương \(n\), kí hiệu \({S_n}\) tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử ĐGNL Bộ Công an năm 2026 - Đề số 2 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Vì dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...\) là các tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh\( \times \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Với \(n = 1\) thì tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) có cạnh bằng \(3\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) có bán kính \({R_1} = 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow {S_1} = \pi {\left( {3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\) .
Với \(n = 2\) thì tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\) có cạnh bằng \(\frac{3}{2}\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) có bán kính \({R_2} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow {S_2} = \pi {\left( {3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\) .
Với \(n = 3\) thì tam giác đều \({A_3}{B_3}{C_3}\) có cạnh bằng \(\frac{3}{4}\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_3}{B_3}{C_3}\) có bán kính \({R_3} = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow {S_3} = \pi {\left( {3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\) .
...................
Như vậy tam giác đều \({A_n}{B_n}{C_n}\) có cạnh bằng \(3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) có bán kính \({R_n} = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow {S_n} = \pi {\left[ {3 \cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right]^2}\) .
Khi đó ta được dãy \({S_1}\), \({S_2}\), \(...,{S_n},...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1} = {S_1} = 3\pi \) và công bội \(q = \frac{1}{4}\).
Do đó tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)\( = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 4\pi \). Chọn B.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. Việt Nam Quang phục hội.
B. Đảng Cộng sản Việt Nam.
C. Việt Nam Độc lập Đồng minh.
D. Đông Dương Cộng sản đảng.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Theo tư liệu, Đảng Cộng sản Việt Nam là sản phẩm của sự kết hợp giữa chủ nghĩa Mác - Lênin với phong trào công nhân và phong trào yêu nước. Tổ chức này do Nguyễn Ái Quốc sáng lập năm 1930. => Chọn B.
Lời giải
Lời giải
Ta có thể thực hiện việc rót theo sơ đồ sau:
|
Ban đầu |
Ly người vợ: V ml |
Ly người chồng: 0 ml |
|
Bước thứ nhất: Vợ rót 1/2 nước trong ly cho chồng |
|
|
|
Bước thứ hai: Chồng rót 1/3 nước trong ly cho vợ |
|
|
|
Bước thứ ba: Vợ rót 1/4 nước trong ly cho chồng |
|
|
|
Bước thứ tư: Chồng rót 1/5 nước trong ly cho vợ |
|
|
|
Bước thứ năm: Vợ rót 1/6 nước trong ly cho chồng |
|
|
Quá trình này được lặp đi lặp lại và ta thấy rằng trong các bước lẻ (người vợ rót nước cho người chồng) thì lượng nước hai ly bằng nhau.
Ÿ Bước thứ 99 thì lượng nước hai ly bằng nhau.
Ÿ Bước thứ 100 (người chồng rót 1/101 nước trong ly cho vợ), lượng nước trong ly người chồng là .
Đáp án: 119.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập