Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 60^\circ ,\,\,AB = 3a\) và \(AC = 4a.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C',\) biết khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {B'AC} \right)\) bằng \(\frac{{3a\sqrt {15} }}{{10}}.\) Thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho là
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 60^\circ ,\,\,AB = 3a\) và \(AC = 4a.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C',\) biết khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {B'AC} \right)\) bằng \(\frac{{3a\sqrt {15} }}{{10}}.\) Thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho là
A. \(V = 27{a^3}.\)
B. \(V = 9{a^3}.\)
C. \(V = {a^3}.\)
D. \(V = 4{a^3}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = 3{a^2}\sqrt 3 .\)
Dựng \(BE \bot AC,\,\,BF \bot B'E.\) Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BB'\\AC \bot BE\end{array} \right..\) Suy ra \(AC \bot BF \Rightarrow BF \bot \left( {B'AC} \right).\)
Do vậy \(d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) = BF\); \(BE = AB \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}\).
Mặt khác \(d\left( {M,\,\left( {B'AC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C',\,\left( {B'AC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) = \frac{1}{2}BF = \frac{{3a\sqrt {15} }}{{10}} \Rightarrow BF = \frac{{3a\sqrt {15} }}{5}.\)
Hơn nữa \(\frac{1}{{B{F^2}}} = \frac{1}{{B{{B'}^2}}} + \frac{1}{{B{E^2}}} \Rightarrow BB' = 3a\sqrt 3 \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = BB' \cdot {S_{\Delta ABC}} = 27{a^3}.\) Chọn A.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
B. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
C. \(\frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
D. \(\frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\).
Lời giải
Lời giải
Gọi \[N\] là trung điểm của \[AD\]. Khi đó \[MN\,{\rm{//}}\,AC\] nên \[\left( {SM,AC} \right) = \left( {SM,MN} \right)\].
\[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\]\[ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \]\[ \Rightarrow MN = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
\[\Delta SCD\] là tam giác đều cạnh \[a\]\[ \Rightarrow SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
\[\Delta SAD\] là tam giác đều cạnh \[a\]\[ \Rightarrow SN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
\[SM = SN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] \[ \Rightarrow \Delta SMN\] cân tại \[S\]\[ \Rightarrow \widehat {SMN} < 90^\circ \].
Vậy \[\left( {SM,AC} \right) = \left( {SM,MN} \right) = \widehat {SMN}\].
Trong \[\Delta SMN\], ta có: \[\cos \widehat {SMN} = \frac{{S{M^2} + M{N^2} - S{N^2}}}{{2SM.SN}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\].
Vậy \[\cos \left( {SM,AC} \right) = \cos \widehat {SMN} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\]. Chọn C.
Câu 2
A. \(21\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
B. \(25\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
C. \(30\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
D. \(36\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Lời giải
Lời giải
Thời điểm chất điểm \(B\) đuổi kịp chất điểm \(A\) thì chất điểm \(B\) đi được \(15\)giây, chất điểm \(A\) đi được \(18\) giây.
Biểu thức vận tốc của chất điểm \(B\) có dạng \({v_B}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t} = at + C\) mà \({v_B}\left( 0 \right) = 0\) nên \({v_B}\left( t \right) = at\).
Do từ lúc chất điểm \(A\) bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm \(B\) đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được bằng nhau.
Do đó: \(\int\limits_0^{18} {\left( {\frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}t} \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{15} {at{\rm{d}}t} \Leftrightarrow 225 = a \cdot \frac{{225}}{2} \Leftrightarrow a = 2\).
Vậy, vận tốc của chất điểm \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng \({v_B}\left( t \right) = 2 \cdot 15 = 30\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Chọn C.
Câu 3
A. \(45^\circ \).
B. \(30^\circ \).
C. \(60^\circ \).
D. \(90^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\pi \left( {{e^2} - e - \frac{3}{2}} \right)\).
B. \({e^2} - e - \frac{5}{2}\).
C. \(\pi \left( {{e^2} - e - \frac{5}{2}} \right)\).
D. \({e^2} - e - \frac{3}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{4}\)m.
B. \(75\) m.
C. \(75\sqrt 2 \)m.
D. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{2}\)m.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
B. \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = - 1\end{array} \right.,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
C. \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = - 1 - t\end{array} \right.,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
D. \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\\z = - 1 + t\end{array} \right.,\left( {\,t \in \mathbb{R}} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\frac{{a\sqrt {27} }}{{32}}\).
B. \(\frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).
C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
D. \(\frac{{a\sqrt {21} }}{8}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập