Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\], cho tam giác nhọn \(ABC\). Đường tròn đường kính \(BC\) là \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \frac{5}{3}\). Từ \(A\) kẻ hai tiếp tuyến \(AM,AN\) đến \(\left( C \right)\) (\(M,N\) là các tiếp điểm và nằm cùng một phía đối với đường thẳng \(BC\)). Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường thẳng \(MN\) và \(A\) thuộc đường thẳng \(d:2x + y - 1 = 0\). Tìm tọa độ đỉnh \(A\).
A. \(A\left( {1;1} \right)\).
B. \(A\left( {1; - 1} \right)\).
C. \(A\left( { - 1; - 1} \right)\).
D. \(A\left( { - 1;1} \right)\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1; - 2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {\frac{5}{3}} \).
Gọi \(J\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\);
Gọi \(H\) là giao điểm của \[IA\] và \(MN\)\( \Rightarrow IA \bot MN\) tại \(H\). Theo giả thiết ta có \(J \in MN\).
Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông \(JHA,JHI,JIB\) ta được:
\(J{A^2} = A{H^2} + H{J^2} = A{H^2} + I{J^2} - I{H^2} = A{H^2} + J{B^2} - I{B^2} - I{H^2} \Leftrightarrow A{H^2} - I{H^2} = I{B^2}\)
\( \Leftrightarrow \left( {M{A^2} - H{M^2}} \right) - \left( {M{I^2} - H{M^2}} \right) = I{B^2} \Leftrightarrow M{A^2} = M{I^2} + I{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2}\).
Suy ra \(I{A^2} = M{A^2} + I{M^2} = 2{R^2} + {R^2} = 3{R^2} = 5\).
Vì \(A \in d\) nên gọi \(A\left( {t;1 - 2t} \right)\). Ta có \(A{I^2} = 5 \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} + {\left( {3 - 2t} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A\left( {1; - 1} \right)\).
Vậy \(A\left( {1; - 1} \right)\). Chọn B.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(2x + 4y - 3z - 8 = 0\).
B. \(2x + 4y - 3z = 0\).
C. \(2x + 4y - 3z + 8 = 0\).
D. \(2x - 4y - 3z = 0\).
Lời giải
Lời giải
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\), \(B\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1\,;\,2\,;\,2} \right)\) và \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\).
Do đó \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là: \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right] = \left( {2\,;\,4\,;\, - 3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và nhận \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2\,;\,4\,;\, - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình: \(2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y + 1} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4y - 3z = 0\). Chọn B.
Câu 2
A. \[2x - 3y + 4z \pm \sqrt[3]{{36}} = 0\].
B. \[2x - 3y + 4z + \frac{3}{2} = 0\].
C. \[2x - 3y + 4z \pm 12 = 0\].
D. \[2x - 3y + 4z \pm 6 = 0\].
Lời giải
Lời giải
Vì \[AB \bot \left( P \right)\] nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;4} \right)\], do đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \[2x - 3y + 4z + d = 0\].
Từ đây tìm được \[D\left( { - \frac{d}{2};0;0} \right)\], \[E\left( {0;\frac{d}{3};0} \right)\], \[F\left( {0;0; - \frac{d}{4}} \right)\] suy ra \[OD = \frac{{\left| d \right|}}{2}\], \[OE = \frac{{\left| d \right|}}{3}\], \[OF = \frac{{\left| d \right|}}{4}\].
Mặt khác tứ diện \[ODEF\] có \[OD,OE,OF\] đôi một vuông góc nên
\[{V_{ODEF}} = \frac{1}{6}OD \cdot OE \cdot OF\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\left| d \right|} \right)}^3}}}{{144}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left| d \right| = 6 \Leftrightarrow d = \pm 6\].
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \[2x - 3y + 4z \pm 6 = 0\]. Chọn D.
Câu 3
A. 7.
B. \(\frac{{\sqrt {377} }}{7}\).
C. \(\sqrt {377} \).
D. \(\frac{{\sqrt {377} }}{4}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(S = 95,7{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
B. \(S = 96,25{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
C. \(S = 94{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
D. \(S = 87,5{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \({10^{164}}.\)
B. \({10^{100}}.\)
C. \({10^{200}}.\)
D. \({10^{144}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. Điểm E thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và nằm bên trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
B. Điểm E không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và nằm bên trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
C. Điểm E thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và nằm bên ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
D. Điểm E thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập