Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\). Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây.

Đồ thị của hàm số \(y = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

Lời giải

Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\):

Ta có \(y = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\)\( \Rightarrow y' = 2f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right),\,\,y' = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f'\left( x \right) = 0\end{array} \right.\).

Quan sát đồ thị ta có \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.\) và \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = 1\\x = {x_2}\end{array} \right.\) với \({x_1} \in \left( {0;1} \right)\) và \({x_2} \in \left( {1;3} \right)\).

Suy ra \[y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\f'\left( x \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) < 0\\f'\left( x \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \in \left( {3; + \infty } \right)\\x \in \left( {0;{x_1}} \right) \cup \left( {1;{x_2}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow x \in \left( {0;{x_1}} \right) \cup \left( {1;{x_2}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\].

Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số \(y = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\):

Suy ra hàm số có \(2\) điểm cực đại, \(3\) điểm cực tiểu. Chọn A.