Một cái hồ lô trang trí được thiết kế phần chứa nước có thể tích bằng thể tích của một vật thể \(\left( V \right)\) trong không gian. Biết rằng, điểm \(M\) thuộc \(\left( V \right)\) khi và chỉ khi \(MA \le \sqrt 3 \,\,{\rm{dm}}\) hoặc \(MB \le \sqrt 5 \,\,{\rm{dm}}\); trong đó \(A\) và \(B\) là hai điểm cố định, \(AB = 3\,\,{\rm{dm}}\). Thể tích phần chứa nước của hồ lô đó là bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố: “An thắng Bình trong ván cờ”, \(B\) là biến cố: “Bình thắng An trong ván cờ” và \(C\) là biến cố: “Bình và An hoà nhau trong ván cờ”.

Ta thấy \[A\], \[B\], \[C\] là các biến cố xung khắc.

Để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ thì ván đấu thứ nhất hai bạn hoà nhau, ván đấu thứ hai sẽ có thắng thua.

Xét ván thứ nhất: \(P\left( C \right) = 1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) = 1 - 0,4 - 0,35 = 0,25\).

Xét ván thứ hai: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = 0,4 + 0,35 = 0,75\).

Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván đấu là \(P = 0,25 \cdot 0,75 = 0,1875\).

Đáp án: 0,1875.

Lời giải

Ta nhận thấy hai điểm \(A,\;B\) nằm về cùng một phía của đường thẳng \(\Delta :x - y + 3 = 0\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(\Delta \).

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\Delta \) tại \(H\).

Phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - t\end{array} \right.\).

Vì \(H \in d\) nên \(H\left( {{x_H}\;;\; - {x_H}} \right)\).

Mặt khác, \(H \in \Delta  \Rightarrow {x_H} - \left( { - {x_H}} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow {x_H} =  - \frac{3}{2}\). Suy ra \(H\left( { - \frac{3}{2}\;;\,\frac{3}{2}} \right)\).

Vì \(H\) là trung điểm của \(AA'\) nên \(A'\left( { - 3\;;\;3} \right)\).

Vì \(A,B\) cố định nên độ dài đường đi của tàu ngắn nhất \( \Leftrightarrow \)\(AM + MB\) ngắn nhất.

Ta có \(AM + MB = A'M + MB \ge A'B\).

Vậy \(AM + MB\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow \)\[A',M,B\] thẳng hàng \( \Leftrightarrow \)\(A'B\) cắt \(\Delta \) tại \(M\).

Phương trình đường thẳng \(A'B\) là \(x + 2y - 3 = 0\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 0\\x + 2y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( { - 1\;;\;2} \right)\). Chọn A.