Hai bạn An và Bình cùng chơi cờ vua với nhau. Trong một ván cờ, xác suất An thắng Bình là \(0,4\) và xác suất để Bình thắng An là \(0,35\). Hai bạn sẽ dừng chơi khi có người thắng, người thua. Tính xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ.

Lời giải

Gọi \[B\] là biến cố: “Người đó mắc bệnh”, \(\overline B \) là biến cố: “Người đó không mắc bệnh”.

Khi đó xác suất mắc bệnh là \(P\left( B \right) = 0,005\).

Xác suất không mắc bệnh là: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0,995\).

Gọi \[T\]là biến cố “Xét nghiệm dương tính”, \[\overline T \] là biến cố: “Xét nghiệm âm tính”.

Xác suất xét nghiệm dương tính khi mắc bệnh: \[P\left( {T\mid B} \right) = 0,98\].

Xác suất xét nghiệm âm tính khi mắc bệnh là: \[P\left( {\overline T \mid B} \right) = 1 - P\left( {T\mid B} \right) = 0,02\].

Xác suất xét nghiệm âm tính khi không mắc bệnh: \[P\left( {\overline T \mid \overline B } \right) = 0,95\].

Xác suất xét nghiệm dương tính khi không mắc bệnh: \[P\left( {T\mid \overline B } \right) = 1 - P\left( {\overline T \mid \overline B } \right) = 0,05\].

Xác suất để người được xét nghiệm có kết quả dương tính là

\[P\left( T \right) = P\left( {T\mid B} \right) \cdot P\left( B \right) + P\left( {T\mid \overline B } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,98 \cdot 0,005 + 0,05 \cdot 0,995 = 0,05465\].

Xác suất người đó mắc bệnh khi có kết quả xét nghiệm là dương tính là

\(P\left( {B|T} \right) = \frac{{P\left( {T|B} \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( T \right)}} = \frac{{0,98 \cdot 0,005}}{{0,05465}} = \frac{{98}}{{1093}} \approx 0,09\).

Đáp án: 0,09.

Lời giải

Ta nhận thấy hai điểm \(A,\;B\) nằm về cùng một phía của đường thẳng \(\Delta :x - y + 3 = 0\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(\Delta \).

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\Delta \) tại \(H\).

Phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - t\end{array} \right.\).

Vì \(H \in d\) nên \(H\left( {{x_H}\;;\; - {x_H}} \right)\).

Mặt khác, \(H \in \Delta  \Rightarrow {x_H} - \left( { - {x_H}} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow {x_H} =  - \frac{3}{2}\). Suy ra \(H\left( { - \frac{3}{2}\;;\,\frac{3}{2}} \right)\).

Vì \(H\) là trung điểm của \(AA'\) nên \(A'\left( { - 3\;;\;3} \right)\).

Vì \(A,B\) cố định nên độ dài đường đi của tàu ngắn nhất \( \Leftrightarrow \)\(AM + MB\) ngắn nhất.

Ta có \(AM + MB = A'M + MB \ge A'B\).

Vậy \(AM + MB\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow \)\[A',M,B\] thẳng hàng \( \Leftrightarrow \)\(A'B\) cắt \(\Delta \) tại \(M\).

Phương trình đường thẳng \(A'B\) là \(x + 2y - 3 = 0\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 0\\x + 2y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( { - 1\;;\;2} \right)\). Chọn A.