Một con tàu muốn xuất phát từ hòn đảo \(A\) trở về bờ biển sau đó di chuyển đến hòn đảo \(B\). Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển, vị trí điểm \(A,\;B\) có tọa độ lần lượt là \(A\left( {0\;;\;0} \right),B\left( {5\;;\; - 1} \right)\), giả sử đường bờ biển có phương trình đường thẳng là \(\Delta :x - y + 3 = 0\). Tìm điểm M trên bờ biển mà tàu sẽ di chuyển đến sao cho độ dài đường đi của tàu từ \(A\) đến \(B\) là ngắn nhất.

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố: “An thắng Bình trong ván cờ”, \(B\) là biến cố: “Bình thắng An trong ván cờ” và \(C\) là biến cố: “Bình và An hoà nhau trong ván cờ”.

Ta thấy \[A\], \[B\], \[C\] là các biến cố xung khắc.

Để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ thì ván đấu thứ nhất hai bạn hoà nhau, ván đấu thứ hai sẽ có thắng thua.

Xét ván thứ nhất: \(P\left( C \right) = 1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) = 1 - 0,4 - 0,35 = 0,25\).

Xét ván thứ hai: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = 0,4 + 0,35 = 0,75\).

Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván đấu là \(P = 0,25 \cdot 0,75 = 0,1875\).

Đáp án: 0,1875.

Lời giải

Gọi \[B\] là biến cố: “Người đó mắc bệnh”, \(\overline B \) là biến cố: “Người đó không mắc bệnh”.

Khi đó xác suất mắc bệnh là \(P\left( B \right) = 0,005\).

Xác suất không mắc bệnh là: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0,995\).

Gọi \[T\]là biến cố “Xét nghiệm dương tính”, \[\overline T \] là biến cố: “Xét nghiệm âm tính”.

Xác suất xét nghiệm dương tính khi mắc bệnh: \[P\left( {T\mid B} \right) = 0,98\].

Xác suất xét nghiệm âm tính khi mắc bệnh là: \[P\left( {\overline T \mid B} \right) = 1 - P\left( {T\mid B} \right) = 0,02\].

Xác suất xét nghiệm âm tính khi không mắc bệnh: \[P\left( {\overline T \mid \overline B } \right) = 0,95\].

Xác suất xét nghiệm dương tính khi không mắc bệnh: \[P\left( {T\mid \overline B } \right) = 1 - P\left( {\overline T \mid \overline B } \right) = 0,05\].

Xác suất để người được xét nghiệm có kết quả dương tính là

\[P\left( T \right) = P\left( {T\mid B} \right) \cdot P\left( B \right) + P\left( {T\mid \overline B } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,98 \cdot 0,005 + 0,05 \cdot 0,995 = 0,05465\].

Xác suất người đó mắc bệnh khi có kết quả xét nghiệm là dương tính là

\(P\left( {B|T} \right) = \frac{{P\left( {T|B} \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( T \right)}} = \frac{{0,98 \cdot 0,005}}{{0,05465}} = \frac{{98}}{{1093}} \approx 0,09\).

Đáp án: 0,09.