Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) \(SA \bot \left( {ABCD} \right),\) \(SA = a\) và \(M\) là trung điểm cạnh \(SD.\) Côsin góc giữa đường thẳng \(AC\) và đường thẳng \(BM\) bằng

Lời giải

Gọi \(O = AC \cap BD\), \(I = SO \cap BM\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), qua \(I\) kẻ \(NK{\rm{//}}AC\,\;\left( {N \in SA,K \in SC} \right)\). Khi đó, \(\left( {AC,BM} \right) = \left( {NK,BM} \right)\).

Ta có \(I\) là trọng tâm của tam giác \(SBD\).

Tính được \(SB = SD = BD = a\sqrt 2 \) nên tam giác \(SBD\) đều cạnh \(a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow BM = \frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow BI = \frac{2}{3}MB = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Ta có \(S{O^2} = S{A^2} + A{O^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}a} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(\frac{{IK}}{{OC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IK = \frac{2}{3}OC = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

\(\frac{{SK}}{{SC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow SK = \frac{2}{3}SC = \frac{2}{3}a\sqrt 3 \).

Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B \Rightarrow \cos \widehat {BSC} = \frac{{SB}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Ta có \(K{B^2} = S{K^2} + S{B^2} - 2SK \cdot SB\, \cdot \cos \widehat {BSK\,} = {\left( {\frac{2}{3}a\sqrt 3 } \right)^2} + 2{a^2} - 2 \cdot \frac{{2a\sqrt 3 }}{3} \cdot \,a\sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{2}{3}{a^2}\).

Do đó, \(\cos \widehat {KIB\,} = \frac{{I{K^2} + I{B^2} - K{B^2}}}{{2IK \cdot IB}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} - {{\frac{{2a}}{3}}^2}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{3}}} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} > 0\).

Từ đó suy ra \(\cos \left( {AC,BM} \right) = \cos \left( {NK,BM} \right) = \cos \widehat {KIB} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\). Chọn C.