Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) \(SA \bot \left( {ABCD} \right),\) \(SA = a\) và \(M\) là trung điểm cạnh \(SD.\) Côsin góc giữa đường thẳng \(AC\) và đường thẳng \(BM\) bằng
A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 }}\).
B. \(\frac{1}{{3\sqrt 2 }}\).
C. \(\frac{1}{{2\sqrt 3 }}\).
D. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Gọi \(O = AC \cap BD\), \(I = SO \cap BM\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), qua \(I\) kẻ \(NK{\rm{//}}AC\,\;\left( {N \in SA,K \in SC} \right)\). Khi đó, \(\left( {AC,BM} \right) = \left( {NK,BM} \right)\).
Ta có \(I\) là trọng tâm của tam giác \(SBD\).
Tính được \(SB = SD = BD = a\sqrt 2 \) nên tam giác \(SBD\) đều cạnh \(a\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow BM = \frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow BI = \frac{2}{3}MB = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Ta có \(S{O^2} = S{A^2} + A{O^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}a} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{IK}}{{OC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IK = \frac{2}{3}OC = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
\(\frac{{SK}}{{SC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow SK = \frac{2}{3}SC = \frac{2}{3}a\sqrt 3 \).
Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B \Rightarrow \cos \widehat {BSC} = \frac{{SB}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Ta có \(K{B^2} = S{K^2} + S{B^2} - 2SK \cdot SB\, \cdot \cos \widehat {BSK\,} = {\left( {\frac{2}{3}a\sqrt 3 } \right)^2} + 2{a^2} - 2 \cdot \frac{{2a\sqrt 3 }}{3} \cdot \,a\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{2}{3}{a^2}\).
Do đó, \(\cos \widehat {KIB\,} = \frac{{I{K^2} + I{B^2} - K{B^2}}}{{2IK \cdot IB}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} - {{\frac{{2a}}{3}}^2}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{3}}} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} > 0\).
Từ đó suy ra \(\cos \left( {AC,BM} \right) = \cos \left( {NK,BM} \right) = \cos \widehat {KIB} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\). Chọn C.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Gọi \(A\) là biến cố: “An thắng Bình trong ván cờ”, \(B\) là biến cố: “Bình thắng An trong ván cờ” và \(C\) là biến cố: “Bình và An hoà nhau trong ván cờ”.
Ta thấy \[A\], \[B\], \[C\] là các biến cố xung khắc.
Để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ thì ván đấu thứ nhất hai bạn hoà nhau, ván đấu thứ hai sẽ có thắng thua.
Xét ván thứ nhất: \(P\left( C \right) = 1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) = 1 - 0,4 - 0,35 = 0,25\).
Xét ván thứ hai: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = 0,4 + 0,35 = 0,75\).
Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván đấu là \(P = 0,25 \cdot 0,75 = 0,1875\).
Đáp án: 0,1875.
Câu 2
A. \(M\left( { - 1\;;\;2} \right)\).
B. \(M\left( {1\;;\;3} \right)\).
C. \(M\left( {0\;;\;2} \right)\).
D. \(M\left( {1\;;\;2} \right)\).
Lời giải
Lời giải
Ta nhận thấy hai điểm \(A,\;B\) nằm về cùng một phía của đường thẳng \(\Delta :x - y + 3 = 0\).
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(\Delta \).
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\Delta \) tại \(H\).
Phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\end{array} \right.\).
Vì \(H \in d\) nên \(H\left( {{x_H}\;;\; - {x_H}} \right)\).
Mặt khác, \(H \in \Delta \Rightarrow {x_H} - \left( { - {x_H}} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow {x_H} = - \frac{3}{2}\). Suy ra \(H\left( { - \frac{3}{2}\;;\,\frac{3}{2}} \right)\).
Vì \(H\) là trung điểm của \(AA'\) nên \(A'\left( { - 3\;;\;3} \right)\).
Vì \(A,B\) cố định nên độ dài đường đi của tàu ngắn nhất \( \Leftrightarrow \)\(AM + MB\) ngắn nhất.
Ta có \(AM + MB = A'M + MB \ge A'B\).
Vậy \(AM + MB\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow \)\[A',M,B\] thẳng hàng \( \Leftrightarrow \)\(A'B\) cắt \(\Delta \) tại \(M\).
Phương trình đường thẳng \(A'B\) là \(x + 2y - 3 = 0\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 0\\x + 2y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( { - 1\;;\;2} \right)\). Chọn A.
Câu 3
A. \(y - 2z + 2 = 0\).
B. \(x - 2z + 2 = 0\).
C. \(x - y + 2z + 2 = 0\).
D. \(x - 2y + 2 = 0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(m = \frac{{2017}}{{\sqrt {2022} }}\).
B. \(m = \frac{{2022}}{{\sqrt {2017} }}\).
C. \(m = \sqrt {2020} \).
D. \(m = \sqrt {2017} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} = 40\).
B. \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} = 49\].
C. \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} = 69\].
D. \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} = 64\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập