Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) \(SA \bot \left( {ABCD} \right),\) \(SA = a\) và \(M\) là trung điểm cạnh \(SD.\) Côsin góc giữa đường thẳng \(AC\) và đường thẳng \(BM\) bằng
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử ĐGNL Bộ Công an năm 2026 - Đề số 1 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Gọi \(O = AC \cap BD\), \(I = SO \cap BM\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), qua \(I\) kẻ \(NK{\rm{//}}AC\,\;\left( {N \in SA,K \in SC} \right)\). Khi đó, \(\left( {AC,BM} \right) = \left( {NK,BM} \right)\).
Ta có \(I\) là trọng tâm của tam giác \(SBD\).
Tính được \(SB = SD = BD = a\sqrt 2 \) nên tam giác \(SBD\) đều cạnh \(a\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow BM = \frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow BI = \frac{2}{3}MB = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Ta có \(S{O^2} = S{A^2} + A{O^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}a} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{IK}}{{OC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IK = \frac{2}{3}OC = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
\(\frac{{SK}}{{SC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow SK = \frac{2}{3}SC = \frac{2}{3}a\sqrt 3 \).
Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B \Rightarrow \cos \widehat {BSC} = \frac{{SB}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Ta có \(K{B^2} = S{K^2} + S{B^2} - 2SK \cdot SB\, \cdot \cos \widehat {BSK\,} = {\left( {\frac{2}{3}a\sqrt 3 } \right)^2} + 2{a^2} - 2 \cdot \frac{{2a\sqrt 3 }}{3} \cdot \,a\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{2}{3}{a^2}\).
Do đó, \(\cos \widehat {KIB\,} = \frac{{I{K^2} + I{B^2} - K{B^2}}}{{2IK \cdot IB}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} - {{\frac{{2a}}{3}}^2}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{3}}} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} > 0\).
Từ đó suy ra \(\cos \left( {AC,BM} \right) = \cos \left( {NK,BM} \right) = \cos \widehat {KIB} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\). Chọn C.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
Gọi \(A\) là biến cố: “An thắng Bình trong ván cờ”, \(B\) là biến cố: “Bình thắng An trong ván cờ” và \(C\) là biến cố: “Bình và An hoà nhau trong ván cờ”.
Ta thấy \[A\], \[B\], \[C\] là các biến cố xung khắc.
Để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ thì ván đấu thứ nhất hai bạn hoà nhau, ván đấu thứ hai sẽ có thắng thua.
Xét ván thứ nhất: \(P\left( C \right) = 1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) = 1 - 0,4 - 0,35 = 0,25\).
Xét ván thứ hai: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = 0,4 + 0,35 = 0,75\).
Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván đấu là \(P = 0,25 \cdot 0,75 = 0,1875\).
Đáp án: 0,1875.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
Ta nhận thấy hai điểm \(A,\;B\) nằm về cùng một phía của đường thẳng \(\Delta :x - y + 3 = 0\).
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(\Delta \).
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\Delta \) tại \(H\).
Phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\end{array} \right.\).
Vì \(H \in d\) nên \(H\left( {{x_H}\;;\; - {x_H}} \right)\).
Mặt khác, \(H \in \Delta \Rightarrow {x_H} - \left( { - {x_H}} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow {x_H} = - \frac{3}{2}\). Suy ra \(H\left( { - \frac{3}{2}\;;\,\frac{3}{2}} \right)\).
Vì \(H\) là trung điểm của \(AA'\) nên \(A'\left( { - 3\;;\;3} \right)\).
Vì \(A,B\) cố định nên độ dài đường đi của tàu ngắn nhất \( \Leftrightarrow \)\(AM + MB\) ngắn nhất.
Ta có \(AM + MB = A'M + MB \ge A'B\).
Vậy \(AM + MB\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow \)\[A',M,B\] thẳng hàng \( \Leftrightarrow \)\(A'B\) cắt \(\Delta \) tại \(M\).
Phương trình đường thẳng \(A'B\) là \(x + 2y - 3 = 0\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 3 = 0\\x + 2y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( { - 1\;;\;2} \right)\). Chọn A.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập