Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên \[m\] để phương trình\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4mx + 2my - 2mz + 9{m^2} - 28 = 0\] là phương trình mặt cầu?

Lời giải

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cần tìm.

Vì \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và song song với \(CD\) nên \(\left( P \right)\) nhận hai vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;2;1} \right)\),\(\overrightarrow {CD}  = \left( {1;0;0} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương suy ra \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0; - 1;2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(0\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 0} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(y - 2z + 2 = 0\). Chọn A.

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố: “An thắng Bình trong ván cờ”, \(B\) là biến cố: “Bình thắng An trong ván cờ” và \(C\) là biến cố: “Bình và An hoà nhau trong ván cờ”.

Ta thấy \[A\], \[B\], \[C\] là các biến cố xung khắc.

Để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ thì ván đấu thứ nhất hai bạn hoà nhau, ván đấu thứ hai sẽ có thắng thua.

Xét ván thứ nhất: \(P\left( C \right) = 1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) = 1 - 0,4 - 0,35 = 0,25\).

Xét ván thứ hai: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = 0,4 + 0,35 = 0,75\).

Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván đấu là \(P = 0,25 \cdot 0,75 = 0,1875\).

Đáp án: 0,1875.