Cho hàm số \[f'\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 10x + m + 9} \right)\) có \(5\) điểm cực trị?

Lời giải

Ta có \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.\], \(x = 2\) là nghiệm kép nên khi qua giá trị \(x = 2\) thì \(f'\left( x \right)\) không bị đổi dấu.

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 10x + m + 9} \right)\) khi đó \(g'\left( x \right) = f'\left( u \right) \cdot \left( {2x - 10} \right)\) với \(u = {x^2} - 10x + m + 9\).

Nên \[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 10 = 0\\{\left( {{x^2} - 10x + m + 9 - 2} \right)^2} = 0\\{x^2} - 10x + m + 9 = 1\\{x^2} - 10x + m + 9 = 3\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\{\left( {{x^2} - 10x + m + 9 - 2} \right)^2} = 0\\{x^2} - 10x + m + 8 = 0\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 10x + m + 6 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\].

Hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 10x + m + 9} \right)\) có \(5\) điểm cực trị khi và chỉ khi \(g'\left( x \right)\) đổi dấu \(5\) lần hay phương trình \(\left( 1 \right)\) và phương trình \(\left( 2 \right)\) mỗi phương trình phải có hai nghiệm phân biệt khác \(5\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\Delta '}_1} > 0\\{{\Delta '}_2} > 0\\h\left( 5 \right) \ne 0\\p\left( 5 \right) \ne 0\end{array} \right.\] (với \(h\left( x \right) = {x^2} - 10x + m + 8\) và \(p\left( x \right) = {x^2} - 10x + m + 6\)) \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}17 - m > 0\\19 - m > 0\\ - 17 + m \ne 0\\ - 19 + m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 17\].

Vậy có \(16\) giá trị nguyên dương \(m\) thỏa mãn. Chọn B.