\[n\left( {A \cup B \cup C} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right) - n\left( {A \cap B} \right) - n\left( {B \cap C} \right) - n\left( {C \cap A} \right) + n\left( {A \cap B \cap C} \right)\]

\[ \Rightarrow 27 = 14 + 12 + 10 - 4 - 3 - 3 + n\left( {A \cap B \cap C} \right) \Rightarrow n\left( {A \cap B \cap C} \right) = 1\] nên số bạn chơi giỏi cả ba môn là 1.

Số bạn vừa chơi giỏi bóng đá, vừa chơi giỏi ít nhất một môn khác là:

$n\left[ {\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap C} \right)} \right] = n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap C} \right) - n\left( {A \cap B \cap C} \right) = 4 + 3 - 1 = 6$ (học sinh)

Số bạn chỉ chơi giỏi bóng đá là $n\left( A \right) - n\left[ {\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap C} \right)} \right] = 14 - 6 = 8$ (học sinh)

Đáp án cần nhập là: $8$.

Câu 2

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \sqrt {8 + 2x - {x^2}} = 2m$ có nghiệm là

A. 3.

B. 21.

C. 15.

D. 10.

Lời giải

Điều kiện: $8 + 2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4$.

Đặt $t = \sqrt {8 + 2x - {x^2}} $. Ta có $\sqrt {8 + 2x - {x^2}} = \sqrt {9 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \le 3 \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]$.

Phương trình đã cho trở thành: $ - {t^2} + t + 5 = 2m{\rm{\;}}$ (1).

Để phương trình đã cho có nghiệm thì (1) phải có nghiệm $t \in \left[ {0;3} \right]$.

Xét hàm số $f\left( t \right) = - {t^2} + t + 5$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$.

Bảng biến thiên:

$Mà $m$ là số nguyên nên có 3 (ảnh 1)$

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (1) có nghiệm $t \in \left[ {0;3} \right]$ khi

$ - 1 \le 2m \le \frac{{21}}{4} \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}$.

Mà $m$ là số nguyên nên có 3 giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán. Chọn A.

Câu 3

Lúc 6 giờ 15 phút sáng, bạn Hoàng đi xe đạp từ nhà ở điểm $A$ đến trường ở điểm $B$. Khoảng cách từ nhà Hoàng đến trường theo đường chim bay là 900 m. Trong quá trình đi, Hoàng phải đạp xe lên và xuống trên một con dốc có đỉnh $C$ với độ dốc khi lên và xuống lần lượt là $6^\circ $ và $5^\circ $ như hình vẽ bên dưới.
$Mà $m$ là số nguyên nên có 3 (ảnh 1)$

Biết tốc độ trung bình lúc lên dốc và xuống dốc của Hoàng lần lượt là $5,4{\rm{\;km/h}}$ và 21,6 ${\rm{km/h}}$. Thời điểm Hoàng đến trường gần nhất với thời điểm nào dưới đây?

A. 6 giờ 21 phút.

B. 6 giờ 20 phút.

C. 6 giờ 25 phút.

D. 6 giờ 24 phút.

Lời giải

Ta có $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {180^o} - \left( {{5^o} + {6^o}} \right) = {169^o}$.

Xét tam giác $ABC$, ta có: $\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}A}}$ (định lý sin)

Suy ra $\frac{{900}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}{5^o}}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}{6^o}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC = \frac{{900{\rm{sin}}{5^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}}}\\{BC = \frac{{900{\rm{sin}}{6^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}}}\end{array}} \right.$

Đổi $5,4{\rm{\;km/h}} = 1,5{\rm{\;m/s}};\,\,21,6{\rm{\;km/h}} = 6{\rm{\;m/s}}$.

Thời gian lên dốc của Hoàng là: $\frac{{900{\rm{sin}}{5^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}}:1,5 = \frac{{600{\rm{sin}}{5^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}}$(s)

Thời gian lên xuống của Hoàng là: $\frac{{900{\rm{sin}}{6^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}}:6 = \frac{{150{\rm{sin}}{6^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}}$(s)

Tổng thời gian Hoàng đi từ nhà đến trường là: $\frac{{600{\rm{sin}}{5^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}} + \frac{{150{\rm{sin}}{6^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}} \approx 356,2$(s)

Đổi 356,2 giây $ \approx 6$ phút.

Ta có 6 giờ 15 phút + 6 phút $ = 6$ giờ 21 phút.

Vậy thời điểm Hoàng đến trường khoảng 6 giờ 21 phút. Chọn A.

Câu 4

Bạn đang đứng trước hai cánh cửa, một cánh cửa dẫn đến thiên đường, một cánh cửa dẫn đến địa ngục. Có hai người đứng gác cửa, một người luôn nói dối, một người luôn nói thật. Bạn không biết cánh cửa nào dẫn đến địa ngục, cũng không biết ai nói dối hay nói thật. Làm thế nào bạn chỉ cần hỏi một câu hỏi duy nhất để biết chắc chắn cánh cửa nào dẫn đến thiên đường?

A. Bạn hỏi: "Cánh cửa này là đến thiên đường?".

B. Bạn hỏi: "Anh là người nói thật đúng không?".

C. Bạn hỏi "Nếu tôi hỏi người kia, anh ta sẽ bảo cánh cửa nào dẫn đến thiên đường?'".

D. Bạn hỏi: "Tôi đi cánh cửa nào sẽ dẫn đến thiên đường".

Lời giải

Phân tích cách trả lời: Nếu tôi hỏi người kia, anh ta sẽ bảo cánh cửa nào dẫn đến thiên đường

+ Nếu bạn hỏi người nói thật:

Người nói thật sẽ trung thực và nói bạn câu trả lời mà người nói dối sẽ đưa ra.

Người nói dối sẽ luôn chỉ vào cánh cửa sai. Vì vậy, người nói thật sẽ chỉ vào cánh cửa sai khi trả lời câu hỏi này.

+ Nếu bạn hỏi người nói dối:

Người nói dối sẽ nói dối về câu trả lời mà người nói thật sẽ đưa ra.

Người nói thật sẽ chỉ vào cánh cửa đúng, nhưng người nói dối lại chỉ ngược lại, tức là cánh cửa sai.

Kết luận:

Bất kể bạn hỏi ai, câu trả lời luôn chỉ vào cánh cửa sai. Vì vậy, bạn chỉ cần chọn cánh cửa còn lại để đến thiên đường. Chọn C.

Câu 5

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H\left( {3;2} \right)$ và trọng tâm $G\left( {\frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)$. Đường thẳng $BC$ có phương trình là $x + 2y - 2 = 0$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Xem đáp án

Lời giải

(1) 5

Gọi $I\left( {{x_I};{y_I}} \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có $\overrightarrow {HG} = \left( { - \frac{4}{3};\frac{2}{3}} \right);\overrightarrow {GI} = \left( {{x_I} - \frac{5}{3};{y_I} - \frac{8}{3}} \right)$.

Tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp I nên $\overrightarrow {HG} = 2\overrightarrow {GI} $.

Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ - 4}}{3} = 2\left( {{x_I} - \frac{5}{3}} \right)}\\{\frac{2}{3} = 2\left( {{y_I} - \frac{8}{3}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_I} = 1}\\{{y_I} = 3}\end{array} \Leftrightarrow I\left( {1;3} \right)} \right.} \right.$.

Đường thẳng $BC$ có phương trình là $x + 2y - 2 = 0$ nên $x = 2 - 2y$ và $\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 2;1} \right)$.

Gọi $M\left( {2 - 2{y_M};{y_M}} \right)$ là trung điểm $BC$. Khi đó $IM \bot BC$ và $\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {MG} $.

Ta có $\overrightarrow {IM} = \left( {1 - 2{y_M};{y_M} - 3} \right)$;

$IM \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {IM} \bot \overrightarrow {{u_{BC}}} \Rightarrow - 2\left( {1 - 2{y_M}} \right) + 1\left( {{y_M} - 3} \right) = 0 \Rightarrow {y_M} = 1 \Rightarrow M\left( {0;1} \right)$.

Gọi $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$. Ta có $\overrightarrow {GA} = \left( {{x_A} - \frac{5}{3};{y_A} - \frac{8}{3}} \right);\overrightarrow {MG} = \left( {\frac{5}{3};\frac{5}{3}} \right)$ mà $\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {MG} $

Nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} - \frac{5}{3} = 2 \cdot \frac{5}{3}}\\{{y_A} - \frac{8}{3} = 2 \cdot \frac{5}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} = 5}\\{{y_A} = 6}\end{array} \Leftrightarrow A\left( {5;6} \right)} \right.} \right.$.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $IA = \sqrt {{{(5 - 1)}^2} + {{(6 - 3)}^2}} = 5$.

Đáp án cần nhập là: $5$.

Câu 6

Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$. Biết rằng $AB = AC = 3$, $\widehat {BAC} = 120^\circ $ và số đo của góc nhị diện $\left[ {A,B'C',A'} \right]$ bằng $30^\circ $. Khoảng cách giữa đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $\left( {AB'C'} \right)$ là

A. $\frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

B. $\sqrt 5 $.

C. $\frac{3}{4}$.

D. $\frac{4}{3}$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý