Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

  • 653 lượt thi

  • 20 câu hỏi

  • 30 phút

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với \(AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 600. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC.

Xem đáp án

Ta có

\[SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} = {60^0}\]

Tam giác ABC vuông cân tại B nên\[AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{2}\]

Xét tam giác vuông SAB có\[SA = AB.\tan {60^0} = \frac{a}{2}.\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]

Ta có\[d\left( {AD;SC} \right) = d\left( {AD;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\]

Kẻ \[AK \bot SB\]

Do\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AK\) mà\[AK \bot SB\] nên\[AK \bot \left( {SBC} \right)\]

Khi đó\[d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với  (ảnh 1)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và \(SO = \sqrt 3 \). Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.

Xem đáp án

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \bot AC}\\{BD \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot (SAC)\)

Trong (SAC) kẻ\[OK \bot SA\,\,\left( 1 \right)\] ta có\[OK \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow OK \bot BD\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD.  Khi đó

\[d\left( {SA;BD} \right) = OK = \frac{{SO.OA}}{{\sqrt {S{O^2} + O{A^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 .\frac{{2\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {30} }}{5}.\]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và  (ảnh 1)

Đáp án cần chọn là: B


Câu 3:

Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của A′A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BB′ và A′H.

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của A′A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Tính khoảng cách d giữa hai đường  (ảnh 1)

Do\[BB'\parallel AA'\] nên\[d\left( {BB';A'H} \right) = d\left( {BB';\left( {AA'H} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {AA'H} \right)} \right).\]

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BH \bot AH}\\{BH \bot A\prime H}\end{array}} \right. \Rightarrow BH \bot (AA\prime H)\)

Nên\[d\left( {B;\left( {AA'H} \right)} \right) = BH = \frac{{BC}}{2} = a.\]

Vậy khoảng cách\[d\left( {BB';A'H} \right) = a\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 4:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, tam giác SBC là tam giác đều cạnh aa và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, tam giác SBC là tam giác đều cạnh aa và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của BC khi đó\[SH \bot BC\]

Mặt khác \[\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\] do đó\[SH \bot \left( {ABC} \right)\]

Ta có\[SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] và\[AB = AC = \frac{a}{{\sqrt 2 }};AH = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\]

Do\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AH}\\{BC \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SHA)\)

Dựng\[HK \bot SA\] khi đó HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA.

Lại có \[HK = \frac{{SH.AH}}{{\sqrt {S{H^2} + H{A^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\] Vậy \[d\left( {SA;BC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600 và M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và CM.

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 độ và M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách d gi (ảnh 1)

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\)

\[ \Rightarrow \widehat {SBA}\] là góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC)

Ta có \[SA = AB\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3 \]

Do AB||CD do đó\[d\left( {AB;CM} \right) = d\left( {AB;\left( {CMD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\]

Dựng\[AH \bot SD\,\,\,\left( 1 \right)\] ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot AD}\\{CD \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot (SAD) \Rightarrow CD \bot AH(2)\)

Từ (1) và (2)\[ \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\]

khi đó\[d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AH\]

Lại có\[AH = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 .a}}{{\sqrt {3{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

Do đó\[d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

Đáp án cần chọn là: B


0

Đánh giá trung bình

0%

0%

0%

0%

0%

Bình luận


Bình luận