Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là

Do \[AB\parallel CD\] nên\[d\left( {SD;AB} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{4}{3}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right).\]

(Do\[AH \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{HC}} = \frac{4}{3}\]

\[ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{4}{3}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\]

Kẻ\[HE \bot CD\], kẻ\[HL \bot SE\,\,\left( 1 \right)\] ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot SH}\\{CD \bot HE}\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot (SHE) \Rightarrow CD \bot HL(2)\)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow HL \bot \left( {SCD} \right)\]

\[ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HL\]

Tính được\[SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = a\sqrt 2 ,HE = \frac{3}{4}AD = 3a.\]

Khi đó\[d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HL = \frac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{{\sqrt {11} }}.\]

Vậy\[d\left( {SD;AB} \right) = \frac{4}{3}HL = \frac{{4a\sqrt {22} }}{{11}}.\]

Gọi\[E = HK \cap AC.\]  Do \[HK\parallel BD\] nên suy ra\[d\left( {HK;SD} \right) = d\left( {HK;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\]

(vì \[OE = \frac{1}{2}AO\])

Kẻ \[AF \bot SO\,\,\left( 1 \right)\] ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \bot AC}\\{BD \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow BD \bot AF(2)\)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow AF \bot \left( {SBD} \right)\] khi đó\[d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AF = \frac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \frac{{2a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {4{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} }} = \frac{{2a}}{3}.\]

Vậy khoảng cách\[d\left( {HK;SD} \right) = \frac{1}{2}AF = \frac{a}{3}.\]