Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông cân, AC=BC=3a. Hình chiếu vuông góc của B′ lên mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC, mặt phẳng (ABB′A′) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B′C.
A.\[d = \frac{{3a\sqrt {42} }}{{14}}.\]
B. \[d = \frac{{3a\sqrt {42} }}{7}.\]
C. \[d = \frac{{a\sqrt {42} }}{4}.\]
D. \[d = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}.\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì\[B'G \bot \left( {ABC} \right)\]
Dựng\[CI \bot AB\] suy ra I là trung điểm của AB.
Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot B\prime G}\\{AB \bot GI}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot (B\prime GI) \Rightarrow (\widehat {(ABB\prime A\prime );(ABC)}) = \widehat {B\prime IG} = {60^0}\)
Lại có\[CI = \frac{1}{2}AB = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow GI = \frac{1}{3}CI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
\[ \Rightarrow B'G = GI.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\]
Dựng\[IH \bot B'C\] ta có\[IH \subset \left( {B'IC} \right)\] mà \[AB \bot \left( {B'IC} \right) \Rightarrow IH \bot AB\]
\[ \Rightarrow d\left( {AB;B'C} \right) = IH = \frac{{B'G.CI}}{{B'C}}\]
Ta có :
\[B'C = \sqrt {B'{G^2} + G{C^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + 2{a^2}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{2} \Rightarrow IH = \frac{{3a\sqrt {42} }}{{14}}\]
Do đó\[d = IH = \frac{{3a\sqrt {42} }}{{14}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.a
B.\(a\sqrt 2 \)
B. \(2a\)
C. \[\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bước 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
\[{\rm{\Delta }}BCD,{\rm{\Delta }}ACD\] đều nên:
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{AN \bot CD}\\{BN \bot CD}\end{array}} \right\} \Rightarrow (ABN) \bot CD \Rightarrow MN \bot CD\)
Tương tự ta có \[MN \bot AB\]
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB, CD là độ dài của MN.
Bước 2: Tính MN.
\[{\rm{\Delta }}ACD\] đều cạnh 2a; AN là đường cao.
\[ \to AN = AC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \]
\[AM = \frac{1}{2}AB = a\]
\[{\rm{\Delta }}AMN\] vuông tại M\[MN \bot AB\] nên:
\[MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 2
A.\[d = \frac{{4a\sqrt {22} }}{{11}}.\]
B. \[d = \frac{{3a\sqrt 2 }}{{\sqrt {11} }}.\]
C. \(d = 2a\)
D. \(d = 4a\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Do \[AB\parallel CD\] nên\[d\left( {SD;AB} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{4}{3}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right).\]
(Do\[AH \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{HC}} = \frac{4}{3}\]
\[ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{4}{3}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\]
Kẻ\[HE \bot CD\], kẻ\[HL \bot SE\,\,\left( 1 \right)\] ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot SH}\\{CD \bot HE}\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot (SHE) \Rightarrow CD \bot HL(2)\)
Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow HL \bot \left( {SCD} \right)\]
\[ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HL\]
Tính được\[SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = a\sqrt 2 ,HE = \frac{3}{4}AD = 3a.\]
Khi đó\[d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HL = \frac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{{\sqrt {11} }}.\]
Vậy\[d\left( {SD;AB} \right) = \frac{4}{3}HL = \frac{{4a\sqrt {22} }}{{11}}.\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 3
A.\[\frac{a}{3}.\]
B. \[\frac{{2a}}{3}.\]
C. \[2a\]
D. \[\frac{a}{2}.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\[d = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\]
B. \[d = 2a\]
C. \[d = a\sqrt 2 .\]
D. \[d = \frac{{2a\sqrt {15} }}{5}.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.d = 2a
B.d = a
C.\[d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]
D. \[d = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\[\frac{{a\sqrt {30} }}{{12}}.\]
B. \[\frac{{a\sqrt {30} }}{6}.\]
C. \[\frac{{a\sqrt {30} }}{{15}}.\]
D. \[\frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.\[d = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]
B. \[d = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]
C. \[d = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]
D. \[d = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập