ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Các bài toán về mặt phẳng và mặt cầu

Đáp án cần chọn là: A

Ta có\[\overrightarrow {AI} = \left( {1;1; - 3} \right)\]

Vì (P) tiếp xúc với (S) tại A.

\[ \Leftrightarrow IA \bot (P) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {{n_P}} \]

Do đó, phương trình mặt phẳng (P) có dạng\[x + y - 3z + d = 0\left( * \right)\]

Mặt khác, vì \[A \in (P)\] nên ta có\[2 + 1 - 3.2 + d = 0 \Leftrightarrow d = 3\]

Vậy ta có\[(P):x + y - 3z + 3 = 0\]

Đáp án cần chọn là: D

(S) có tâm\[I(1; - 1; - 2);R = 2\]

Vì (P) song song với \[{{\rm{\Delta }}_1},{{\rm{\Delta }}_2}\] có vtcp tương ứng là\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;1} \right);\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1; - 1} \right)\]

 ta có \[\overrightarrow {{n_P}} = [\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = (0;1;1)\]

Gọi\[(P):y + z + d = 0\]

\[d(I;P) = \frac{{| - 1 - 2 + d|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{|d - 3|}}{{\sqrt 2 }}\]

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{|d - 3|}}{{\sqrt 2 }} = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{d - 3 = 2\sqrt 2 }\\{d - 3 = - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 3 + 2\sqrt 2 }\\{d = 3 - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y + z + 3 + 2\sqrt 2 = 0}\\{y + z + 3 - 2\sqrt 2 = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

\[(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\]có tâm I(1;−2;1) và bán kính R=3.

Do (P) đi qua A,B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên (P) đi qua tâm I của (S)

Ta có:\[\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {0;3; - 2} \right);\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)\]

Phương trình mặt phẳng\[(P):1(x--0)--2(y + 1)--3(z--0) = 0\]hay\[x--2y--3z--2 = 0\]

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

Giả sử M(a;b;c) là điểm cần tìm.

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R=3.Gọi \[\Delta \] là đường thẳng qua I và vuông góc với mp(P).

\( \Rightarrow \Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\)

Đường thẳng \[\Delta \] cắt mặt cầu tại 2 điểm A,B. Toạ độ A,B là nghiệm của hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 - 2t}\\\begin{array}{l}z = 3 + t\\{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 9\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A(3;0;4)}\\{B( - 1;4;2)}\end{array}} \right.\)

Ta có:\[d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 - 2.0 + 4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = \frac{{13}}{3}\]

và\[d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.( - 1) - 2.4 + 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = \frac{5}{3}\]

Do đó điểm cần tìm là điểm\[A \equiv M \Rightarrow a + b + c = 3 + 0 + 4 = 7\]

Đáp án cần chọn là: C

(S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=8.

Tâm đường tròn giao tuyến (C) là hình chiếu vuông góc H của I trên (P).

Đường thẳng \[\Delta \] qua I và vuông góc với  (P) có phương trình là

\[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\]

Do\[H \in \Delta \] nên\[H(2t + 1;2t + 1;t + 1)\]

Ta có\[H \in (P)\] nên:

\[2(2t + 1) + 2(2t + 1) + t + 1 + 10 = 0 \Leftrightarrow 9t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{5}{3}\]

\( \Rightarrow H(\frac{{ - 7}}{3};\frac{{ - 7}}{3};\frac{{ - 2}}{3})\)

Đáp án cần chọn là: A

(S) có tâm I(5;−3;7) và bán kính\[R = 6\sqrt 2 \]

Theo đề bài ta có phương trình (P) có dạng\[x + m(y - 8) + n(z - 2) = 0\]

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên

\[{\rm{d}}(I,(P)) = \frac{{\left| {5 + m( - 3 - 8) + n(7 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \frac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 \]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \left| {5 - 11m + 5n} \right| = 6\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }\\{ \Leftrightarrow 25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn = 72(1 + {m^2} + {n^2})}\\{ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m + 50n - 110mn - 47{n^2} - 47 = 0}\\{ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m(n + 1) - 47{n^2} + 50n - 47 = 0(1)}\\{{\rm{\Delta '}} = 3025{{(n + 1)}^2} - 49( - 47{n^2} + 50n - 47) = 5328{n^2} + 3600n + 5328 > 0}\end{array}\]

Phương trình (*) luôn có  nghiệm

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}(B,(P)) = \frac{{\left| {1 + m(1 - 8) + n( - 9 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \frac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}}\\{ = > d(B,(P))\max = AB \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 3\sqrt {19} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} = \frac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}}\end{array}\]

Mặt khác\[\frac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} \]

\[\frac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }} = \frac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)}\\{ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)}\\{ \Leftrightarrow - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)}\end{array}\]Từ (1) và (2)\[ \Rightarrow m.n = \frac{{276}}{{49}}\]

Đáp án cần chọn là: A