Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 40)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính đạo hàm của hàm số sơ cấp.

Lời giải

Ta có \(f'(x) = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\)

Suy ra \(f'(1) = \frac{1}{{\ln 2}}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có:

\(P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 1 - \frac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}} = 1 - \frac{{0,3}}{{0,6}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lập dãy số theo yêu cầu đầu bài.

Giả sử số đầu tiên là \(a\), số thứ hai là \(b\).

Ta có dãy số: \(a;b;ab;a{b^2};{a^2}{b^3};{a^3}{b^5}; \ldots \)

Số thứ 6 bằng 4000, hay \({a^3}{b^5} = 4000 = {5^3}{.2^5}\).

Suy ra \(a = 5\).

Vậy số đầu tiên của dãy số là 5.

Đáp án đúng là "32/55"

Phương pháp giải

Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển.

Lời giải

Không gian mẫu: \(\Omega  = C_{12}^4.C_8^4.C_4^4\).

Vì mỗi bạn được 4 phần quà và đều có cả 2 loại quà nên có một bạn có 2 phần quà loại I.

Giả sử:

Bạn thứ nhất có 1 phần quà loại I và 3 phần quà loại II: \(C_4^1.C_8^3\).

Bạn thứ hai có 1 phần quà loại I và 3 phần quà loại II: \(C_3^1.C_5^3\).

Bạn thứ ba có 2 phần quà loại I và 2 phần quà loại II: \(C_2^2.C_2^2\).

Vậy \(P(A) = \frac{{3.C_4^1.C_8^3.C_3^1.C_5^3C_2^2.C_2^2}}{{C_{12}^4.C_8^4.C_4^4}} = \frac{{32}}{{55}}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình

\({x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2mx + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{g\left( x \right) = {x^2} - 2mx + 4 = 0}\end{array}} \right.\)

Do đó, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác -1

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} = {m^2} - 4 > 0}\\{g\left( { - 1} \right) \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\\2m + 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 2}\\{ - \frac{5}{2} \ne m < - 2}\end{array}.} \right.} \right.\)

Phương pháp giải

Đưa về tương giao đồ thị

Lời giải

Ta có \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)}\\{x = {x_2} \in \left( { - 1;0} \right)}\\{x = {x_3} \in \left( {1;2} \right)}\end{array}} \right.\)

Khi đó: \(f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) - 1 = {x_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = {x_2} \in \left( { - 1;0} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = {x_3} \in \left( {1;2} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = 1 + {x_1} \in \left( { - 1;0} \right)}\\{f\left( x \right) = 1 + {x_2} \in \left( {0;1} \right)}\\{f\left( x \right) = 1 + {x_3} \in \left( {2;3} \right)}\end{array}} \right.\)

+ Ta thấy hai phương trình \(f\left( x \right) = 1 + {x_1} \in \left( { - 1;0} \right);f\left( x \right) = 1 + {x_2} \in \left( {0;1} \right)\) đều có ba nghiệm phân biệt.

Phương trình \(f\left( x \right) = 1 + {x_3} \in \left( {2;3} \right)\) có một nghiệm.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Đường tròn lớn của bán kính bằng bán kính mặt cầu.

Chu vi đường tròn bán kính R là \(C = 2\pi R\).

Lời giải

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I\left( {2; - 1;a} \right)}\\{R = \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {a^2} - 10a} = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} }\end{array}} \right.\)

ĐКХĐ: \({a^2} - 10a + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 5 + 2\sqrt 5 }\\{a < 5 - 2\sqrt 5 }\end{array}} \right.\).

Đường tròn lớn của hình cầu có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \).

\( \Rightarrow \) Chu vi \(C = 2\pi R = 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \).

Mà \(C = 8\pi \Leftrightarrow 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5} = 8\pi \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 10a + 5} = 4\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 10a + 5 = 16\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 10a - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{a = 11}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow S = \left\{ { - 1;11} \right\}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn:

\({s^2} = \frac{{{m_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + \ldots + {m_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}}}{n};\,\,s = \sqrt {{s^2}} \)

Lời giải

Cỡ mẫu \(n = 3 + 6 + 3 + 5 + 3 = 20\).

\(\overline x = \frac{1}{{20}}\left[ {3.89 + 6.107 + 3.125 + 5.143 + 3.161} \right] = 124,1\).

Phương sai của mẫu số liệu là:

\({s^2} = \frac{1}{{20}}\left[ {{{3.89}^2} + {{6.107}^2} + {{3.125}^2} + {{5.143}^2} + {{3.161}^2}} \right] - 124,{1^2} = 566,19\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: \(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {566,19} \approx 23,79\).