Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 25

Dựa vào miền nghiệm ta thấy điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) thuộc miền nghiệm.

Thay vào 4 đáp án, chỉ có đáp án A thoả mãn. Chọn A.

\(A\backslash B = \emptyset \)\( \Leftrightarrow \)\(A \subset B\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 5 \le 2\\m + 5 > 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 7\\m >  - 1\end{array} \right.\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7} \right\}\). Có 8 giá trị nguyên. Chọn D.

Ta có

 \[\sqrt {{x^2} + x + 1}  = \sqrt {x + 2}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\{x^2} + x + 1 = x + 2\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} = 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x =  \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  \pm 1\,\].

Vậy phương trình có hai nghiệm. Chọn C.

Gọi số bút và số vở mà bạn Hoa mua lần lượt là \(x;\;y\;\;\left( {x \ge 2;\;y \ge 0;\;x,y \in \mathbb{N}} \right)\).

Ta có: \(5000x + 7000y \le 100000 \Leftrightarrow 5x + 7y \le 100 \Leftrightarrow y \le \frac{{100 - 5x}}{7}\).

Do \(x \ge 2\)nên \(\frac{{100 - 5x}}{7} \le \frac{{90}}{7} \Rightarrow y \le \frac{{90}}{7}\).

Do vậy, bạn Hoa có thể mua tối đa 12 quyển vở.

Đáp án cần nhập là: \(12\).

Chọn hệ trục toạ độ như \[\left( {Oxy} \right)\] như hình vẽ.

Khi đó phương trình đường Elip là : \(\frac{{{x^2}}}{6} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1.\)

Không mất tổng quát, ta chọn điểm \(A\) và \(B\) thuộc \[\left( E \right)\] sao cho điểm \(A\) và \(B\) có hoành độ dương.

Do tam giác \[OAB\] cân tại \(O\) suy ra \(A\) đối xứng với \(B\) qua \[Ox\].

Gọi điểm A\(\left( {{x_{\rm{o}}};{y_{\rm{o}}}} \right)\)\( \Rightarrow \)B\(\left( {{x_{\rm{o}}}; - {y_{\rm{o}}}} \right)\);\(\left( {{x_{\rm{o}}} > 0} \right)\).

\[A \in \left( E \right):\frac{{x_0^2}}{6} + \frac{{y_0^2}}{1} = 1 \Rightarrow \left| {{y_0}} \right| = \frac{{\sqrt {6 - x_0^2} }}{{\sqrt 6 }}\].

Ta có \(AB = 2\left| {{y_0}} \right| = 2 \cdot \frac{{\sqrt {6 - x_0^2} }}{{\sqrt 6 }}\).

Gọi \(H\)là trung điểm \(AB\)thì \(H\left( {{x_0};0} \right) \Rightarrow OH = {x_0}\).

\({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot {x_0} \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt {6 - x_0^2} }}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt {x_0^2\left( {6 - x_0^2} \right)} }}{{\sqrt 6 }} \le \frac{1}{{\sqrt 6 }} \cdot \frac{{x_0^2 + 6 - x_0^2}}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi\(x_0^2 = 6 - x_0^2 \Rightarrow {x_0} = \sqrt 3  \Rightarrow {y_0} =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất bằng \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)Chọn C.

Ta thấy các cột đồng xu tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 3\).

Vậy số đồng xu bạn An cần để xếp 15 cột đồng xu là:

\({S_{15}} = 15{u_1} + \frac{{15 \cdot 14}}{2}d = 15 \cdot 2 + 15 \cdot 7 \cdot 3 = 345\). Chọn C.

Ta có: \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + 1 - \sqrt {{x^2} - x + 2} } \right)\)

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{{x^2} - {x^2} + x - 2}}{{x + \sqrt {{x^2} - x + 2} }} + 1} \right)\] \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{x - 2}}{{x + \sqrt {{x^2} - x + 2} }} + 1} \right)\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{1 - \frac{2}{x}}}{{1 + \sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} }} + 1} \right)\]\( = \frac{3}{2}\). Chọn D.

Theo dự kiến, cần \(24\) tháng để hoàn thành công trình.

Vậy khối lượng công việc trên một tháng theo dự tính là: \(\frac{1}{{24}}\).

Khối lượng công việc của tháng thứ 2 là: \({T_2} = \frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{1}{{24}}{\left( {1 + 0,04} \right)^1}\).

Khối lượng công việc của tháng thứ 3 là:

\({T_3} = \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right) + 0,04 \cdot \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right)\)\( = \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^2}\).

Như vậy khối lượng công việc của tháng thứ \(n\) là: \({T_n} = \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}}\).

Ta có: \(\frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^0} + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^1} + ... + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{24}} \cdot \frac{{1 - {{\left( {1 + 0,04} \right)}^n}}}{{1 - \left( {1 + 0,04} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {1 + 0,04} \right)^n} = \frac{{49}}{{25}} \Leftrightarrow n = {\log _{1 + 0,04}}\frac{{49}}{{25}} \approx 17,2\).

Vậy công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ \[18\] từ khi khởi công.

Đáp án cần nhập là: \(18\).