Một vật nặng treo bởi chiếc lò xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng như hình vẽ. Khoảng cách \[h\] từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm \[t\] được tính bởi công thức \[h = \left| d \right|\], trong đó \[d = 4\sin 5t - 3\cos 5t\] , với quy ước \[d > 0\] khi vật ở phía trên vị trí cân bằng và \[d < 0\] khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Trong một giây đầu tiên, có bao nhiêu lần vật đi qua vị trí cân bằng?

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có \(B'\left( {50;\,0;\,10} \right),\,D'\left( {0;\,35;\,10} \right)\),\(C\left( {50;\,35,0} \right)\) và \(O\left( {25;\,17,5;\,0} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {CB'D'} \right)\)nhận \(\overrightarrow {B'D'}  = \left( { - 50;\,35;\,0} \right)\) và \(\overrightarrow {CB'}  = \left( {0;\, - 35;\,10} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên \(\left( {CB'D'} \right)\) nhận \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {B'D'} ,\,\overrightarrow {CB'} } \right] = \left( {350;\,500;1750} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mặt khác, \(\left( {CB'D'} \right)\)qua \(D'\left( {0;\,35;\,10} \right)\) nên có phương trình \(35x + 50y + 175z - 3500 = 0\).

Do mục tiêu di động trên mặt phẳng \(\left( {CB'D'} \right)\) nên khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đến mục tiêu chính là khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {CB'D'} \right)\)

Ta có \(d\left( {O,\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{\left| {35 \cdot 25 + 50 \cdot 17,5 + 75 \cdot 0 - 3500} \right|}}{{\sqrt {{{35}^2} + {{50}^2} + {{175}^2}} }} \approx 9,44\left( m \right)\).

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đến mục tiêu là khoảng \(9,44\) mét.

Đáp án cần nhập là: \(9,44\).

Chọn hệ trục toạ độ như \[\left( {Oxy} \right)\] như hình vẽ.

Khi đó phương trình đường Elip là : \(\frac{{{x^2}}}{6} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1.\)

Không mất tổng quát, ta chọn điểm \(A\) và \(B\) thuộc \[\left( E \right)\] sao cho điểm \(A\) và \(B\) có hoành độ dương.

Do tam giác \[OAB\] cân tại \(O\) suy ra \(A\) đối xứng với \(B\) qua \[Ox\].

Gọi điểm A\(\left( {{x_{\rm{o}}};{y_{\rm{o}}}} \right)\)\( \Rightarrow \)B\(\left( {{x_{\rm{o}}}; - {y_{\rm{o}}}} \right)\);\(\left( {{x_{\rm{o}}} > 0} \right)\).

\[A \in \left( E \right):\frac{{x_0^2}}{6} + \frac{{y_0^2}}{1} = 1 \Rightarrow \left| {{y_0}} \right| = \frac{{\sqrt {6 - x_0^2} }}{{\sqrt 6 }}\].

Ta có \(AB = 2\left| {{y_0}} \right| = 2 \cdot \frac{{\sqrt {6 - x_0^2} }}{{\sqrt 6 }}\).

Gọi \(H\)là trung điểm \(AB\)thì \(H\left( {{x_0};0} \right) \Rightarrow OH = {x_0}\).

\({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot {x_0} \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt {6 - x_0^2} }}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt {x_0^2\left( {6 - x_0^2} \right)} }}{{\sqrt 6 }} \le \frac{1}{{\sqrt 6 }} \cdot \frac{{x_0^2 + 6 - x_0^2}}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi\(x_0^2 = 6 - x_0^2 \Rightarrow {x_0} = \sqrt 3  \Rightarrow {y_0} =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất bằng \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)Chọn C.