Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(SA = 2a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\), \(\alpha \) là góc hợp bởi đường thẳng \(SG\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Biết \(\sin \alpha = \frac{{a\sqrt {105} }}{b}\), với \(a,b \in \mathbb{Z},b > 0,\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng \(a + b\)(nhập đáp án vào ô trống).
___
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(\sin \alpha = \frac{{d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{SG}}\) .
Gọi \(O = AC \cap BD\). \(J\) là trung điểm của \(CD\). Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) lên \(SJ\)
Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \[ABCD\] là hình vuông.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OJ\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOJ} \right)\) \( \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SOJ} \right)\).
Do \(OK \bot SJ\) \( \Rightarrow OK \bot \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OK\).
Mặt khác: \(\frac{{d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{GC}}{{OC}} = \frac{4}{3}\).
Có \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\) ; \(OJ = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}\).
\(SJ = \sqrt {S{O^2} + O{J^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\), \(OK = \frac{{SO \cdot OJ}}{{SJ}} = \frac{{a\sqrt {210} }}{{30}}\).
Mà \(\frac{{d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{GC}}{{OC}} = \frac{4}{3} \Rightarrow d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{4}{3}d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt {210} }}{{45}}\).
\(SG = \sqrt {S{O^2} + O{G^2}} = \sqrt {\frac{{14{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{{18}}} = \frac{{4a\sqrt 2 }}{3}\). Vậy \(\sin \alpha = \frac{{d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{SG}} = \frac{{\sqrt {105} }}{{30}}\) nên \(a + b = 31\) .
Đáp án cần nhập là: \(31\).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Giá trị của xe sau \(n\) năm là: \(C = A \cdot {\left( {1 - 10\% } \right)^n}.\)
Tiền mua gói bảo hiểm ở năm thứ \(n\) là \({T_n} = 1,3\% \cdot A \cdot {\left( {1 - 10\% } \right)^n}\).
Tổng số tiền đóng bảo hiểm sau \(5\) năm là:
\(1,3\% \cdot A\left( {1 + \left( {1 - 10\% } \right) + {{\left( {1 - 10\% } \right)}^2} + {{\left( {1 - 10\% } \right)}^3} + {{\left( {1 - 10\% } \right)}^4} + {{\left( {1 - 10\% } \right)}^5}} \right) \approx \)\(55\)triệu đồng.
Vậy số tiền bác Tâm phải đóng là khoảng 55 triệu.
Đáp án cần nhập là: \(55\).
Lời giải
Theo dự kiến, cần \(24\) tháng để hoàn thành công trình.
Vậy khối lượng công việc trên một tháng theo dự tính là: \(\frac{1}{{24}}\).
Khối lượng công việc của tháng thứ 2 là: \({T_2} = \frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{1}{{24}}{\left( {1 + 0,04} \right)^1}\).
Khối lượng công việc của tháng thứ 3 là:
\({T_3} = \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right) + 0,04 \cdot \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right)\)\( = \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^2}\).
Như vậy khối lượng công việc của tháng thứ \(n\) là: \({T_n} = \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}}\).
Ta có: \(\frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^0} + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^1} + ... + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}} = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{24}} \cdot \frac{{1 - {{\left( {1 + 0,04} \right)}^n}}}{{1 - \left( {1 + 0,04} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {1 + 0,04} \right)^n} = \frac{{49}}{{25}} \Leftrightarrow n = {\log _{1 + 0,04}}\frac{{49}}{{25}} \approx 17,2\).
Vậy công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ \[18\] từ khi khởi công.
Đáp án cần nhập là: \(18\).
Câu 3
A. \(V = 2\sqrt 6 {a^3}\).
B. \(V = \frac{{2\sqrt 6 {a^3}}}{3}\).
C. \(V = 2\sqrt 3 {a^3}\).
D. \(V = \frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(1010\).
B. 2020.
C. \({2020^2}\).
D. \(4040\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \[9\].
B. \[11\].
C. \[10\].
D. \[8\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập