Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(SA = 2a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\), \(\alpha \) là góc hợp bởi đường thẳng \(SG\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Biết \(\sin \alpha  = \frac{{a\sqrt {105} }}{b}\), với \(a,b \in \mathbb{Z},b > 0,\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng \(a + b\)(nhập đáp án vào ô trống).

___

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có \(B'\left( {50;\,0;\,10} \right),\,D'\left( {0;\,35;\,10} \right)\),\(C\left( {50;\,35,0} \right)\) và \(O\left( {25;\,17,5;\,0} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {CB'D'} \right)\)nhận \(\overrightarrow {B'D'}  = \left( { - 50;\,35;\,0} \right)\) và \(\overrightarrow {CB'}  = \left( {0;\, - 35;\,10} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên \(\left( {CB'D'} \right)\) nhận \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {B'D'} ,\,\overrightarrow {CB'} } \right] = \left( {350;\,500;1750} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mặt khác, \(\left( {CB'D'} \right)\)qua \(D'\left( {0;\,35;\,10} \right)\) nên có phương trình \(35x + 50y + 175z - 3500 = 0\).

Do mục tiêu di động trên mặt phẳng \(\left( {CB'D'} \right)\) nên khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đến mục tiêu chính là khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {CB'D'} \right)\)

Ta có \(d\left( {O,\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{\left| {35 \cdot 25 + 50 \cdot 17,5 + 75 \cdot 0 - 3500} \right|}}{{\sqrt {{{35}^2} + {{50}^2} + {{175}^2}} }} \approx 9,44\left( m \right)\).

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đến mục tiêu là khoảng \(9,44\) mét.

Đáp án cần nhập là: \(9,44\).

Theo dự kiến, cần \(24\) tháng để hoàn thành công trình.

Vậy khối lượng công việc trên một tháng theo dự tính là: \(\frac{1}{{24}}\).

Khối lượng công việc của tháng thứ 2 là: \({T_2} = \frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{1}{{24}}{\left( {1 + 0,04} \right)^1}\).

Khối lượng công việc của tháng thứ 3 là:

\({T_3} = \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right) + 0,04 \cdot \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right)\)\( = \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^2}\).

Như vậy khối lượng công việc của tháng thứ \(n\) là: \({T_n} = \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}}\).

Ta có: \(\frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^0} + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^1} + ... + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{24}} \cdot \frac{{1 - {{\left( {1 + 0,04} \right)}^n}}}{{1 - \left( {1 + 0,04} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {1 + 0,04} \right)^n} = \frac{{49}}{{25}} \Leftrightarrow n = {\log _{1 + 0,04}}\frac{{49}}{{25}} \approx 17,2\).

Vậy công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ \[18\] từ khi khởi công.

Đáp án cần nhập là: \(18\).