Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 18)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải.

Ta trải hình lập phương ra hình phẳng.

So sánh độ dài \(B'N + NM + ME\) và B'E.

Lời giải chi tiết.

Độ dài đoạn dây điện bằng tổng độ dài ba đoạn B'N, MN và ME.

Nghĩa là \(B'N + NM + ME = 25\).

Ta trải phẳng mô hình có dạng là hình lập phương ra như hình vẽ.

Xét trên hình trải phẳng.

Khi đó \(B'A' = A'D' = D'D = 10\) (m); \(DE = 5\) (m) vì E là trung điểm của DC.

Xét tam giác B'D'E vuông tại D' có.

\(B'E = \sqrt {B'{{D'}^2} + D'{E^2}} = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = 25\).

Suy ra \(B'N + NM + ME = B'E = 25\).

Suy ra 4 điểm B', M, N, E thẳng hàng trên hình trải phẳng.

Vì \(MD\parallel B'D'\) (theo định lý Thales), ta có.

\(\frac{{DM}}{{B'D'}} = \frac{{ED}}{{ED'}} \Rightarrow \frac{{DM}}{{20}} = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3} \Rightarrow DM = \frac{{20}}{3} \Rightarrow AM = 10 - \frac{{20}}{3} = \frac{{10}}{3}\).

Xét tam giác B'D'E có.

A' là trung điểm của B'D' và \(A'N\parallel ED'\).

Suy ra N là trung điểm của B'E, A'N là đường trung bình của tam giác

\( \Rightarrow A'N = \frac{1}{2}D'E = \frac{1}{2} \cdot 15 = \frac{{15}}{2} \Rightarrow AN = 10 - \frac{{15}}{2} = \frac{5}{2}\).

Xét tam giác AMN vuông tại A, có.

\(MN = \sqrt {A{M^2} + A{N^2}} = \sqrt {{{(\frac{{10}}{3})}^2} + {{(\frac{5}{2})}^2}} \approx 3,74\) (m).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải.

Tính giới hạn tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm \(y = f(t)\).

Lời giải chi tiết.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{26t + 10}}{{t + 5}} = 26\).

Suy ra đồ thị hàm số \(y = f(t)\) có đường tiệm cận ngang là \(y = 26\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải.

Viết phương trình hàm bậc ba.

Tính khoảng cách từ điểm thuộc đồ thị hàm số đến đường thẳng.

Lời giải chi tiết.

Đồ thị của hàm số bậc ba \(y = f(x)\) có điểm cực đại là \((2;5)\) và vị trí điểm cực tiểu là \((0;1)\).

Suy ra hàm số. \(f(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 1\).

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Ta có \(M(a; - {a^3} + 3{a^2} + 1)\) với \(a > 0\).

Khi đó độ dài của cây cầu nối từ hòn đảo ra mặt đường là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(y = 36 - 9x\).

Do đó để độ dài của cây cầu là ngắn nhất thì khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(y = 36 - 9x\) là ngắn nhất.

Độ dài cây cầu là khoảng cách từ M đến đường thẳng \(y = 36 - 9x\) (hay \(9x + y - 36 = 0\)).

\(d(a) = \frac{{|9a - {a^3} + 3{a^2} + 1 - 36|}}{{\sqrt {{9^2} + {1^2}} }} \cdot 100 = \frac{{| - {a^3} + 3{a^2} + 9a - 35|}}{{\sqrt {82} }} \cdot 100\).

Đặt \(E(a) = - {a^3} + 3{a^2} + 9a - 35\).

Khi đó \(E'(a) = - 3{a^2} + 6a + 9 = - 3(a - 3)(a + 1)\). Xét \(a > 0\), \(E(a)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(a = 3\). Do đó \(|E(a)|\) nhỏ nhất tại \(a = 3\).

\(E(3) = - 27 + 27 + 27 - 35 = - 8\).

Suy ra \({d_{min}} = \frac{8}{{\sqrt {82} }} \cdot 100 \approx 88,3\) (m).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải.

Khoảng biến thiên \(\Delta = {x_{max}} - {x_{min}}\).

Lời giải chi tiết.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là. \(\Delta = 5000 - 1000 = 4000\).

Đáp án đúng là 3

Phương pháp giải.

\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).

Lời giải chi tiết.

Bảng tần số tích lũy.

\({Q_1}\) là trung vị của 50 giá trị đầu \( \Rightarrow \) vị trí 25 và 26 đều ứng với điểm 14, do đó \({Q_1} = 14\).

\({Q_3}\) là trung vị của 50 giá trị cuối \( \Rightarrow \) vị trí 75 và 76 đều ứng với điểm 17, do đó \({Q_3} = 17\).

\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 17 - 14 = 3\).

Đáp án đúng là \(\frac{{52}}{{105}}\)

Phương pháp giải.

Dấu hiệu chia hết cho 4 là 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4.

Lời giải chi tiết.

Chữ số hàng đơn vị thuộc tập \(\{ 0;2;4;6\} \).

- Nếu hàng đơn vị là 0. hàng nghìn chọn 6 cách, hàng trăm có 5 cách, hàng chục có 4 cách, suy ra có \(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\) số.

- Nếu hàng đơn vị là 2, 4, 6. mỗi trường hợp hàng nghìn chọn 5 cách (khác 0), hàng trăm có 5 cách, hàng chục có 4 cách, suy ra có \(3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 = 300\) cách.

Do đó \(|X| = 120 + 300 = 420\).

Các số tự nhiên chia hết cho 4 có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4. Hai chữ số tận cùng đó có thể là: 04; 20; 24; 32; 36; 40; 52; 56; 60; 64; 72; 76.

Hai số tận cùng là. 04; 20; 40; 60 thì hàng nghìn có 5 cách chọn, hàng trăm có 4 cách chọn, suy ra có: \(4 \cdot 5 \cdot 4 = 80\) cách.

Hai số tận cùng là 24; 32; 36; 52; 56; 64; 72; 76: hàng nghìn có 5 cách chọn, hàng trăm có 4 cách chọn, suy ra có. \(8 \cdot 5 \cdot 4 = 160\) cách. (Wait, \(8 \cdot 4 \cdot 4 = 128\) cách do số 0 không đứng đầu).

Có số các số chia hết cho 4 là. \(80 + 128 = 208\).

Xác suất để số được chọn chia hết cho 4 là. \(P = \frac{{208}}{{420}} = \frac{{52}}{{105}}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải.

Elip có \(a = \frac{{60}}{2} = 30\), \(b = \frac{{30}}{2} = 15\).

Đường tròn tiếp xúc trong với elip theo phương trục bé nên bán kính là \(r = b = 15\).

Gán hệ trục tọa độ Oxy sao cho elip tâm \(O(0;0)\), trục lớn trùng Ox, trục bé trùng Oy.

Tính diện tích Elip dựa vào tích phân.

Lời giải chi tiết.

Elip có \(a = \frac{{60}}{2} = 30\), \(b = \frac{{30}}{2} = 15\).

Đường tròn tiếp xúc trong với elip theo phương trục bé nên bán kính là \(r = b = 15\).

Vì trục lớn 60 m, trục nhỏ 30 m nên \(a = 30,b = 15\).

Phương trình elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{{30}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{15}^2}}} = 1\) hay \(y = 15\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{900}}} \).

Diện tích elip bằng. \(S = 2\int_{ - 30}^{30} 1 5\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{900}}} dx = 450\pi \).

Diện tích đường tròn là \({S_1} = \pi {r^2} = \pi \cdot {15^2} = 225\pi \).

Diện tích phần trồng hoa màu là \({S_2} = S - {S_1} = 450\pi - 225\pi = 225\pi \).

Tỉ số diện tích cần tìm là \(T = \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{225\pi }}{{225\pi }} = 1\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải.

Với parabol dạng \({y^2} = 2px\) thì tiêu điểm là \(F(\frac{p}{2};0)\).

Lời giải chi tiết.

Với parabol dạng \({y^2} = 2px\) thì tiêu điểm là \(F(\frac{p}{2};0)\).

Do \(F(4;0)\) nên \(\frac{p}{2} = 4 \Rightarrow p = 8\).

Vậy phương trình parabol là \({y^2} = 16x\).