Một hòn đảo nằm trong một vịnh biển. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba \(f(x)\). Đơn vị trên hệ trục là 100 m. Vị trí điểm cực đại là \((2;5)\), vị trí điểm cực tiểu là \((0;1)\). Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình \(y = 36 - 9x\). Người ta muốn làm một cây cầu có dạng là một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án đúng là 2932

Phương pháp giải.

Gọi độ dài 1 đoạn là x, biểu diễn các độ dài quãng đường di chuyển theo x và khảo sát hàm số tìm GTNN.

Lời giải chi tiết.

Xét các điểm như hình trên với \(AH = 10\), \(MN = 5\), \(BK = 4\), \(AB = 10\) (đơn vị. 100 m).

Kẻ \(BP\parallel HK(P \in AH)\).

Khi đó \(PH = BK = 4\).

Suy ra \(AP = AH - PH = 10 - 4 = 6\).

Tam giác APB vuông tại P nên \(HK = PB = \sqrt {A{B^2} - A{P^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\).

Do đó \(HK = 8\).

Đặt \(HM = x\) (\(0 \le x \le 3\)).

Khi đó \(NK = 8 - 5 - x = 3 - x\).

Ta có. \(AM = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{x^2} + 100} \), \(BN = \sqrt {B{K^2} + N{K^2}} = \sqrt {{{(3 - x)}^2} + 16} \).

Ta cần đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\).

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có.

\(\sqrt {{x^2} + {{10}^2}} + \sqrt {{{(3 - x)}^2} + {4^2}} \ge \sqrt {{{(x + 3 - x)}^2} + {{(10 + 4)}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{14}^2}} = \sqrt {205} \).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{x}{{3 - x}} = \frac{{10}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{15}}{7}\).

Vậy quãng đường ngắn nhất mà thầy Hùng đã chạy trong mỗi sáng là. \(500 + \sqrt {205} \cdot 100 + 1000 \approx 2932\) (m).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải.

Tìm hàm \(p(x) = ax + b\) là hàm giá bán.

Từ đó lập hàm lợi nhuận và khảo sát tìm GTLN.

Lời giải chi tiết.

Theo giả thiết \(p(x) = ax + b\).

Do đó, phương trình đường thẳng \(p(x) = ax + b\) đi qua hai điểm \((1000;14)\) và \((1100;13,5)\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{14 = 1000a + b}\\{13,5 = 1100a + b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - \frac{1}{{200}}}\\{b = 19}\end{array}} \right.\)

Vậy \(p(x) = - \frac{1}{{200}}x + 19\).

Doanh thu bán hàng của x sản phẩm là \(R(x) = x \cdot p(x) = x( - \frac{1}{{200}}x + 19) = - \frac{{{x^2}}}{{200}} + 19x\) (triệu đồng).

Do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm là.

\(P(x) = R(x) - C(x) = - \frac{{{x^2}}}{{200}} + 19x - (12000 + 3x) = - \frac{{{x^2}}}{{200}} + 16x - 12000\) (triệu đồng).

Để lợi nhuận là lớn nhất thì \(P(x)\) là lớn nhất.

Ta có. \(P'(x) = - \frac{x}{{100}} + 16\), \(P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1600\).

Lập BBT, ta kết luận bán 1600 cái điện thoại A thì lợi nhuận là cao nhất.

Vậy cửa hàng nên đặt giá bán là \(p(1600) = 11\) (triệu đồng).