Một hòn đảo nằm trong một vịnh biển. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba \(f(x)\). Đơn vị trên hệ trục là 100 m. Vị trí điểm cực đại là \((2;5)\), vị trí điểm cực tiểu là \((0;1)\). Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình \(y = 36 - 9x\). Người ta muốn làm một cây cầu có dạng là một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần mười).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là A
Phương pháp giải.
Viết phương trình hàm bậc ba.
Tính khoảng cách từ điểm thuộc đồ thị hàm số đến đường thẳng.
Lời giải chi tiết.
Đồ thị của hàm số bậc ba \(y = f(x)\) có điểm cực đại là \((2;5)\) và vị trí điểm cực tiểu là \((0;1)\).
Suy ra hàm số. \(f(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 1\).
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\).
Ta có \(M(a; - {a^3} + 3{a^2} + 1)\) với \(a > 0\).
Khi đó độ dài của cây cầu nối từ hòn đảo ra mặt đường là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(y = 36 - 9x\).
Do đó để độ dài của cây cầu là ngắn nhất thì khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(y = 36 - 9x\) là ngắn nhất.
Độ dài cây cầu là khoảng cách từ M đến đường thẳng \(y = 36 - 9x\) (hay \(9x + y - 36 = 0\)).
\(d(a) = \frac{{|9a - {a^3} + 3{a^2} + 1 - 36|}}{{\sqrt {{9^2} + {1^2}} }} \cdot 100 = \frac{{| - {a^3} + 3{a^2} + 9a - 35|}}{{\sqrt {82} }} \cdot 100\).
Đặt \(E(a) = - {a^3} + 3{a^2} + 9a - 35\).
Khi đó \(E'(a) = - 3{a^2} + 6a + 9 = - 3(a - 3)(a + 1)\). Xét \(a > 0\), \(E(a)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(a = 3\). Do đó \(|E(a)|\) nhỏ nhất tại \(a = 3\).
\(E(3) = - 27 + 27 + 27 - 35 = - 8\).
Suy ra \({d_{min}} = \frac{8}{{\sqrt {82} }} \cdot 100 \approx 88,3\) (m).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Đáp án: C
Giải ngắn gọn:
Xung đột bắt nguồn từ sưu thuế → bản chất là áp bức kinh tế.
Lời giải
Đáp án đúng là B
Phương pháp giải.
Kẻ \(OH \bot SC\) tại H. Khi đó xác định được góc nhị diện [B, SC, D]. Tìm độ dài SA.
Lời giải chi tiết.
Kẻ \(OH \bot SC\) tại H.
Vì \(BD \bot AC\), \(BD \bot SA \Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow BD \bot SC\).
Vì \(SC \bot OH\), \(SC \bot BD \Rightarrow SC \bot (HBD) \Rightarrow SC \bot BH\), \(SC \bot HD\).
Vì \(SC \bot BH\), \(SC \bot HD \Rightarrow \) góc nhị diện
Xét tam giác BHD cân tại H có HO là đường trung tuyến suy ra HO đồng thời là tia phân giác \(\widehat {BHD}\).
Suy ra
Vì tứ giác ABCD là hình vuông có cạnh bằng 6 cm nên \(OB = \frac{{6\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2 \).
Xét tam giác OHB vuông tại O có
Trong tam giác vuông SAC, xét hai tam giác đồng dạng OHC và SAC, ta có
\(\sin \widehat {HCO} = \sin \widehat {SCA} = \frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \widehat {SCA} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Suy ra \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{\sin \widehat {SCA}}}{{\cos \widehat {SCA}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Mà \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} \Rightarrow SA = AC \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 6\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 6\).
Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot {6^2} = 72\) (\(c{m^3}\)).
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập