Sự biến thiên nhiệt độ của khối nước đá đựng trong ca nhôm theo nhiệt lượng cung cấp được cho trên đồ thị. Tìm khối lượng nước đá và khối lượng ca nhôm. Cho \({c_{{\rm{nuoc}}}} = 4200{\rm{ J/kg}}{\rm{.K}}\); \({c_{{\rm{nuoc đá }}}} = 1800{\rm{ J/kg}}{\rm{.K}}\); \({c_{{\rm{nhôm}}}} = 880{\rm{ J/kg}}{\rm{.K}}\); \({\lambda _{{\rm{nuoc đá }}}} = {3,4.10^5}{\rm{ J/kg}}\).

Đáp án đúng là 2932

Phương pháp giải.

Gọi độ dài 1 đoạn là x, biểu diễn các độ dài quãng đường di chuyển theo x và khảo sát hàm số tìm GTNN.

Lời giải chi tiết.

Xét các điểm như hình trên với \(AH = 10\), \(MN = 5\), \(BK = 4\), \(AB = 10\) (đơn vị. 100 m).

Kẻ \(BP\parallel HK(P \in AH)\).

Khi đó \(PH = BK = 4\).

Suy ra \(AP = AH - PH = 10 - 4 = 6\).

Tam giác APB vuông tại P nên \(HK = PB = \sqrt {A{B^2} - A{P^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\).

Do đó \(HK = 8\).

Đặt \(HM = x\) (\(0 \le x \le 3\)).

Khi đó \(NK = 8 - 5 - x = 3 - x\).

Ta có. \(AM = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{x^2} + 100} \), \(BN = \sqrt {B{K^2} + N{K^2}} = \sqrt {{{(3 - x)}^2} + 16} \).

Ta cần đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\).

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có.

\(\sqrt {{x^2} + {{10}^2}} + \sqrt {{{(3 - x)}^2} + {4^2}} \ge \sqrt {{{(x + 3 - x)}^2} + {{(10 + 4)}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{14}^2}} = \sqrt {205} \).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{x}{{3 - x}} = \frac{{10}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{15}}{7}\).

Vậy quãng đường ngắn nhất mà thầy Hùng đã chạy trong mỗi sáng là. \(500 + \sqrt {205} \cdot 100 + 1000 \approx 2932\) (m).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải.

Tìm hàm \(p(x) = ax + b\) là hàm giá bán.

Từ đó lập hàm lợi nhuận và khảo sát tìm GTLN.

Lời giải chi tiết.

Theo giả thiết \(p(x) = ax + b\).

Do đó, phương trình đường thẳng \(p(x) = ax + b\) đi qua hai điểm \((1000;14)\) và \((1100;13,5)\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{14 = 1000a + b}\\{13,5 = 1100a + b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - \frac{1}{{200}}}\\{b = 19}\end{array}} \right.\)

Vậy \(p(x) = - \frac{1}{{200}}x + 19\).

Doanh thu bán hàng của x sản phẩm là \(R(x) = x \cdot p(x) = x( - \frac{1}{{200}}x + 19) = - \frac{{{x^2}}}{{200}} + 19x\) (triệu đồng).

Do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm là.

\(P(x) = R(x) - C(x) = - \frac{{{x^2}}}{{200}} + 19x - (12000 + 3x) = - \frac{{{x^2}}}{{200}} + 16x - 12000\) (triệu đồng).

Để lợi nhuận là lớn nhất thì \(P(x)\) là lớn nhất.

Ta có. \(P'(x) = - \frac{x}{{100}} + 16\), \(P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1600\).

Lập BBT, ta kết luận bán 1600 cái điện thoại A thì lợi nhuận là cao nhất.

Vậy cửa hàng nên đặt giá bán là \(p(1600) = 11\) (triệu đồng).