Mỗi tuần, một cửa hàng bán điện thoại di động trung bình bán được 1000 điện thoại A với giá 14 triệu đồng một cái. Biết rằng, nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng/1 cái, số lượng điện thoại A bán ra sẽ tăng thêm 100 cái mỗi tuần. Biết rằng nếu bán x cái điện thoại A thì giá mỗi cái là \(p(x)\) (triệu đồng) và hàm chi phí hàng tuần \(C(x) = 12000 + 3x\) (triệu đồng). Để lợi nhuận là lớn nhất, cửa hàng nên bán mỗi cái điện thoại A với giá bao nhiêu (triệu đồng)?

Đáp án đúng là 2932

Phương pháp giải.

Gọi độ dài 1 đoạn là x, biểu diễn các độ dài quãng đường di chuyển theo x và khảo sát hàm số tìm GTNN.

Lời giải chi tiết.

Xét các điểm như hình trên với \(AH = 10\), \(MN = 5\), \(BK = 4\), \(AB = 10\) (đơn vị. 100 m).

Kẻ \(BP\parallel HK(P \in AH)\).

Khi đó \(PH = BK = 4\).

Suy ra \(AP = AH - PH = 10 - 4 = 6\).

Tam giác APB vuông tại P nên \(HK = PB = \sqrt {A{B^2} - A{P^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\).

Do đó \(HK = 8\).

Đặt \(HM = x\) (\(0 \le x \le 3\)).

Khi đó \(NK = 8 - 5 - x = 3 - x\).

Ta có. \(AM = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{x^2} + 100} \), \(BN = \sqrt {B{K^2} + N{K^2}} = \sqrt {{{(3 - x)}^2} + 16} \).

Ta cần đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\).

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có.

\(\sqrt {{x^2} + {{10}^2}} + \sqrt {{{(3 - x)}^2} + {4^2}} \ge \sqrt {{{(x + 3 - x)}^2} + {{(10 + 4)}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{14}^2}} = \sqrt {205} \).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{x}{{3 - x}} = \frac{{10}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{15}}{7}\).

Vậy quãng đường ngắn nhất mà thầy Hùng đã chạy trong mỗi sáng là. \(500 + \sqrt {205} \cdot 100 + 1000 \approx 2932\) (m).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải.

Ta trải hình lập phương ra hình phẳng.

So sánh độ dài \(B'N + NM + ME\) và B'E.

Lời giải chi tiết.

Độ dài đoạn dây điện bằng tổng độ dài ba đoạn B'N, MN và ME.

Nghĩa là \(B'N + NM + ME = 25\).

Ta trải phẳng mô hình có dạng là hình lập phương ra như hình vẽ.

Xét trên hình trải phẳng.

Khi đó \(B'A' = A'D' = D'D = 10\) (m); \(DE = 5\) (m) vì E là trung điểm của DC.

Xét tam giác B'D'E vuông tại D' có.

\(B'E = \sqrt {B'{{D'}^2} + D'{E^2}} = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = 25\).

Suy ra \(B'N + NM + ME = B'E = 25\).

Suy ra 4 điểm B', M, N, E thẳng hàng trên hình trải phẳng.

Vì \(MD\parallel B'D'\) (theo định lý Thales), ta có.

\(\frac{{DM}}{{B'D'}} = \frac{{ED}}{{ED'}} \Rightarrow \frac{{DM}}{{20}} = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3} \Rightarrow DM = \frac{{20}}{3} \Rightarrow AM = 10 - \frac{{20}}{3} = \frac{{10}}{3}\).

Xét tam giác B'D'E có.

A' là trung điểm của B'D' và \(A'N\parallel ED'\).

Suy ra N là trung điểm của B'E, A'N là đường trung bình của tam giác

\( \Rightarrow A'N = \frac{1}{2}D'E = \frac{1}{2} \cdot 15 = \frac{{15}}{2} \Rightarrow AN = 10 - \frac{{15}}{2} = \frac{5}{2}\).

Xét tam giác AMN vuông tại A, có.

\(MN = \sqrt {A{M^2} + A{N^2}} = \sqrt {{{(\frac{{10}}{3})}^2} + {{(\frac{5}{2})}^2}} \approx 3,74\) (m).