Mỗi tuần, một cửa hàng bán điện thoại di động trung bình bán được 1000 điện thoại A với giá 14 triệu đồng một cái. Biết rằng, nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng/1 cái, số lượng điện thoại A bán ra sẽ tăng thêm 100 cái mỗi tuần. Biết rằng nếu bán x cái điện thoại A thì giá mỗi cái là \(p(x)\) (triệu đồng) và hàm chi phí hàng tuần \(C(x) = 12000 + 3x\) (triệu đồng). Để lợi nhuận là lớn nhất, cửa hàng nên bán mỗi cái điện thoại A với giá bao nhiêu (triệu đồng)?

Đáp án đúng là 2932

Phương pháp giải.

Gọi độ dài 1 đoạn là x, biểu diễn các độ dài quãng đường di chuyển theo x và khảo sát hàm số tìm GTNN.

Lời giải chi tiết.

Xét các điểm như hình trên với \(AH = 10\), \(MN = 5\), \(BK = 4\), \(AB = 10\) (đơn vị. 100 m).

Kẻ \(BP\parallel HK(P \in AH)\).

Khi đó \(PH = BK = 4\).

Suy ra \(AP = AH - PH = 10 - 4 = 6\).

Tam giác APB vuông tại P nên \(HK = PB = \sqrt {A{B^2} - A{P^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\).

Do đó \(HK = 8\).

Đặt \(HM = x\) (\(0 \le x \le 3\)).

Khi đó \(NK = 8 - 5 - x = 3 - x\).

Ta có. \(AM = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{x^2} + 100} \), \(BN = \sqrt {B{K^2} + N{K^2}} = \sqrt {{{(3 - x)}^2} + 16} \).

Ta cần đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\).

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có.

\(\sqrt {{x^2} + {{10}^2}} + \sqrt {{{(3 - x)}^2} + {4^2}} \ge \sqrt {{{(x + 3 - x)}^2} + {{(10 + 4)}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{14}^2}} = \sqrt {205} \).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{x}{{3 - x}} = \frac{{10}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{15}}{7}\).

Vậy quãng đường ngắn nhất mà thầy Hùng đã chạy trong mỗi sáng là. \(500 + \sqrt {205} \cdot 100 + 1000 \approx 2932\) (m).

Đáp án đúng là \(\frac{{11}}{4}\)

Phương pháp giải.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Biểu diễn lại phép tính vectơ.

\(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} = 3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} \).

Tìm tọa độ điểm M.

Lời giải chi tiết.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

\(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} \).

Nên \(|\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} | = |3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} | = |3\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} + 3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} |\).

Gọi N là điểm thỏa \(3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} = \vec 0\) nên \(|3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} | = |4\overrightarrow {MN} |\).

Để \(|\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} |\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(|4\overrightarrow {MN} |\) đạt giá trị nhỏ nhất hay M là hình chiếu của N lên mặt phẳng \((Oyz)\).

Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là. \(G(\frac{4}{3};2;1)\).

\(3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3({x_G} - {x_N}) + ({x_B} - {x_N}) = 0}\\{3({y_G} - {y_N}) + ({y_B} - {y_N}) = 0}\\{3({z_G} - {z_N}) + ({z_B} - {z_N}) = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = \frac{1}{4}(3{x_G} + {x_B})}\\{{y_N} = \frac{1}{4}(3{y_G} + {y_B})}\\{{z_N} = \frac{1}{4}(3{z_G} + {z_B})}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = \frac{1}{4}(3 \cdot \frac{4}{3} + 2) = \frac{3}{2}}\\{{y_N} = \frac{1}{4}(3 \cdot 2 - 1) = \frac{5}{4}}\\{{z_N} = \frac{1}{4}(3 \cdot 1 + 3) = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\).

Nên \(N(\frac{3}{2};\frac{5}{4};\frac{3}{2})\).

Vậy tọa độ điểm M hình chiếu lên \((Oyz)\) là \(M(0;\frac{5}{4};\frac{3}{2})\).

Hay \(a + b + c = 0 + \frac{5}{4} + \frac{3}{2} = \frac{{11}}{4}\).