Mỗi tuần, một cửa hàng bán điện thoại di động trung bình bán được 1000 điện thoại A với giá 14 triệu đồng một cái. Biết rằng, nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng/1 cái, số lượng điện thoại A bán ra sẽ tăng thêm 100 cái mỗi tuần. Biết rằng nếu bán x cái điện thoại A thì giá mỗi cái là \(p(x)\) (triệu đồng) và hàm chi phí hàng tuần \(C(x) = 12000 + 3x\) (triệu đồng). Để lợi nhuận là lớn nhất, cửa hàng nên bán mỗi cái điện thoại A với giá bao nhiêu (triệu đồng)?

Đáp án đúng là 2932

Phương pháp giải.

Gọi độ dài 1 đoạn là x, biểu diễn các độ dài quãng đường di chuyển theo x và khảo sát hàm số tìm GTNN.

Lời giải chi tiết.

Xét các điểm như hình trên với \(AH = 10\), \(MN = 5\), \(BK = 4\), \(AB = 10\) (đơn vị. 100 m).

Kẻ \(BP\parallel HK(P \in AH)\).

Khi đó \(PH = BK = 4\).

Suy ra \(AP = AH - PH = 10 - 4 = 6\).

Tam giác APB vuông tại P nên \(HK = PB = \sqrt {A{B^2} - A{P^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\).

Do đó \(HK = 8\).

Đặt \(HM = x\) (\(0 \le x \le 3\)).

Khi đó \(NK = 8 - 5 - x = 3 - x\).

Ta có. \(AM = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{x^2} + 100} \), \(BN = \sqrt {B{K^2} + N{K^2}} = \sqrt {{{(3 - x)}^2} + 16} \).

Ta cần đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\).

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có.

\(\sqrt {{x^2} + {{10}^2}} + \sqrt {{{(3 - x)}^2} + {4^2}} \ge \sqrt {{{(x + 3 - x)}^2} + {{(10 + 4)}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{14}^2}} = \sqrt {205} \).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{x}{{3 - x}} = \frac{{10}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{15}}{7}\).

Vậy quãng đường ngắn nhất mà thầy Hùng đã chạy trong mỗi sáng là. \(500 + \sqrt {205} \cdot 100 + 1000 \approx 2932\) (m).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải.

Gọi x là số tivi loại 50 inch cửa hàng nhập vào (\(0 \le x \le 100\), \(x \in \mathbb{N}\)).

Gọi y là số tivi loại 55 inch cửa hàng nhập vào (\(0 \le y \le 100\), \(y \in \mathbb{N}\)).

Lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, biểu diễn các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ và tìm miền nghiệm của bất phương trình.

Tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm. Thay lần lượt tọa độ các đỉnh vào hàm lợi nhuận và từ đó kết luận được lợi nhuận lớn nhất có thể thu được.

Lời giải chi tiết.

Gọi x là số tivi loại 50 inch cửa hàng nhập vào (\(0 \le x \le 100\), \(x \in \mathbb{N}\)).

Gọi y là số tivi loại 55 inch cửa hàng nhập vào (\(0 \le y \le 100\), \(y \in \mathbb{N}\)).

Vì tổng nhu cầu tiêu thụ của thị trường không vượt quá 100 chiếc cả hai loại \( \Rightarrow x + y \le 100\).

Giá vốn để nhập hai loại ti vi là không quá 1,8 tỉ đồng = 1800 triệu đồng \( \Rightarrow 15x + 25y \le 1800\) hay \(3x + 5y \le 360\).

Ta có hàm lợi nhuận \(T(x;y) = 2x + 3y\).

Ta xét hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 100}\\{0 \le y \le 100}\\{x + y \le 100}\\{3x + 5y \le 360}\end{array}} \right.\)

Ta vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mp Oxy.

Ta có tọa độ các điểm là các đỉnh của miền nghiệm như sau. \(A(100;0),B(70;30),C(0;72)\). Ta có.

\(T(100;0) = 2 \cdot 100 + 3 \cdot 0 = 200\);

\(T(70;30) = 2 \cdot 70 + 3 \cdot 30 = 230\);

\(T(0;72) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 72 = 216\).

Vậy lợi nhuận lớn nhất mà cửa hàng có thể thu về là 230 triệu đồng.