Nhà thầy Hùng cách bờ biển 1 km. Mỗi buổi sáng thầy chạy bộ từ nhà ra bờ biển sau đó chạy dọc bờ biển 500 m, rồi thầy chạy qua chợ hải sản để lấy thức ăn trong ngày, cuối cùng thầy chạy về nhà. Biết chợ hải sản cách bờ biển 400 m và cách nhà thầy Hùng 1 km, tính quãng đường ngắn nhất mà thầy Hùng đã chạy trong mỗi buổi sáng (đơn vị m và làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án _____

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải.

Tìm hàm \(p(x) = ax + b\) là hàm giá bán.

Từ đó lập hàm lợi nhuận và khảo sát tìm GTLN.

Lời giải chi tiết.

Theo giả thiết \(p(x) = ax + b\).

Do đó, phương trình đường thẳng \(p(x) = ax + b\) đi qua hai điểm \((1000;14)\) và \((1100;13,5)\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{14 = 1000a + b}\\{13,5 = 1100a + b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - \frac{1}{{200}}}\\{b = 19}\end{array}} \right.\)

Vậy \(p(x) = - \frac{1}{{200}}x + 19\).

Doanh thu bán hàng của x sản phẩm là \(R(x) = x \cdot p(x) = x( - \frac{1}{{200}}x + 19) = - \frac{{{x^2}}}{{200}} + 19x\) (triệu đồng).

Do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm là.

\(P(x) = R(x) - C(x) = - \frac{{{x^2}}}{{200}} + 19x - (12000 + 3x) = - \frac{{{x^2}}}{{200}} + 16x - 12000\) (triệu đồng).

Để lợi nhuận là lớn nhất thì \(P(x)\) là lớn nhất.

Ta có. \(P'(x) = - \frac{x}{{100}} + 16\), \(P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1600\).

Lập BBT, ta kết luận bán 1600 cái điện thoại A thì lợi nhuận là cao nhất.

Vậy cửa hàng nên đặt giá bán là \(p(1600) = 11\) (triệu đồng).

Đáp án đúng là \(\frac{{11}}{4}\)

Phương pháp giải.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Biểu diễn lại phép tính vectơ.

\(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} = 3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} \).

Tìm tọa độ điểm M.

Lời giải chi tiết.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

\(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} \).

Nên \(|\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} | = |3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} | = |3\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} + 3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} |\).

Gọi N là điểm thỏa \(3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} = \vec 0\) nên \(|3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} | = |4\overrightarrow {MN} |\).

Để \(|\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} |\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(|4\overrightarrow {MN} |\) đạt giá trị nhỏ nhất hay M là hình chiếu của N lên mặt phẳng \((Oyz)\).

Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là. \(G(\frac{4}{3};2;1)\).

\(3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3({x_G} - {x_N}) + ({x_B} - {x_N}) = 0}\\{3({y_G} - {y_N}) + ({y_B} - {y_N}) = 0}\\{3({z_G} - {z_N}) + ({z_B} - {z_N}) = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = \frac{1}{4}(3{x_G} + {x_B})}\\{{y_N} = \frac{1}{4}(3{y_G} + {y_B})}\\{{z_N} = \frac{1}{4}(3{z_G} + {z_B})}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = \frac{1}{4}(3 \cdot \frac{4}{3} + 2) = \frac{3}{2}}\\{{y_N} = \frac{1}{4}(3 \cdot 2 - 1) = \frac{5}{4}}\\{{z_N} = \frac{1}{4}(3 \cdot 1 + 3) = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\).

Nên \(N(\frac{3}{2};\frac{5}{4};\frac{3}{2})\).

Vậy tọa độ điểm M hình chiếu lên \((Oyz)\) là \(M(0;\frac{5}{4};\frac{3}{2})\).

Hay \(a + b + c = 0 + \frac{5}{4} + \frac{3}{2} = \frac{{11}}{4}\).