Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 5)

Phương pháp giải

Phương trình \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\end{array}\) nhận \(\vec u = \left( {a;b} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Giải chi tiết

Một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\left( { - 4;3} \right)\) hay \(\left( {4; - 3} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải

Tìm tọa độ chân cổng. Từ đó ta có chiều cao cổng bằng trị tuyệt đối trung độ chân cổng.

Giải chi tiết

Khoảng cách từ chân cổng đến trục đối xứng Oy là \(\frac{8}{2} = 4\).
Hoành độ hai chân cổng là \( - 4;4\)
Tung độ chân cổng là: \(y =  - \frac{1}{2} \cdot {4^2} =  - 8\)
Vậy chiều cao của cổng là \(\left| { - 8} \right| = 8\) mét.
Đáp số: 8.

Phương pháp giải

Để hàm số \(f\left( x \right) \le 0\) vô nghiệm thì \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Sử dụng ứng dụng vě̀ dấu của tam thức bậc hai:
\(a{x^2} + bx + c > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{{\rm{\Delta }} < 0}\end{array}\)

Giải chi tiết

Để bất phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm thì \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1 > 0}\\{{\rm{\Delta }} = {{(m + 2)}^2} - 4\left( {8m + 1} \right) < 0}\end{array}\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 32m - 4 < 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 28m < 0\)\( \Leftrightarrow 0 < m < 28\).

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Sử dụng hoán vị. Hoán vị

Giải chi tiết

Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế là: \(5! = 120\) (cách).

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Đặt \({v_n} = u_n^2 + 1\). Chứng minh \({v_n}\) là một cấp số nhân.
Từ đó tìm công thức tổng quát của \(u_n^2\).
Tính \(S\) bằng cách sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.
Sử dụng ứng dụng của logarit để tìm số chữ số của \(S\).

Giải chi tiết

Ta có: \({u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2}  \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 = 3u_n^2 + 2 \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 + 1 = 3\left( {u_n^2 + 1} \right)\).
Đặt \({v_n} = u_n^2 + 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = 2.}\\{{v_{n + 1}} = 3{v_n}}\end{array}\).
Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({v_1} = 2\) công bội \(q = 3\) nên \({v_n} = {2.3^{n - 1}}\).
\( \Rightarrow u_n^2 = {2.3^{n - 1}} - 1\).
Khi đó: \(S = 2.\left( {1 + {3^1} + {3^2} +  \ldots  + {3^{2022}}} \right) = {3^{2023}} - 1\).
Ta có: \(S + 1 = {3^{2023}}\) có \(\left[ {{\rm{log}}{3^{2023}}} \right] + 1 = 966\) (chữ số).
Do đó \(S\) có 966 hoặc 965 chữ số.
\(S\) có 965 chữ số khi  (vô lý do \({3^{2023}}\) là số lẻ còn \({10^{965}}\) là số chẵn)
Vậy số chữ số của \(S = 966\) (chữ số).

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giài

Sử dụng công thức \({u_n} = {u_k}{q^{n - k}}\)

Giải chi tiết

Giả sử cấp số nhân có công bội là, khi đó theo bài ra ta có:
\(2\left( {{u_3} + {u_4} + {u_5}} \right) = {u_6} + {u_7} + {u_8}\)\( \Leftrightarrow 2\left( {{u_3} + {u_3}q + {u_3}{q^2}} \right) = {u_6} + {u_6}q + {u_6}{q^2}\)\( \Leftrightarrow 2{u_3}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = {u_6}\left( {1 + q + {q^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2{u_3} = {u_6}\) do \(1 + q + {q^2} > 0\)
\( \Leftrightarrow 2{{\bf{u}}_3} = {u_3}{q^3} \Leftrightarrow {u_3}\left( {2 - {q^3}} \right) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{c}}{{u_3} = 0}\\{q = \sqrt[3]{2}}\end{array}\)Ta có: \(\frac{{{u_8} + {u_9} + {u_{10}}}}{{{u_2} + {u_3} + {u_4}}} = \frac{{{u_8} + {u_8}q + {u_8}{q^2}}}{{{u_2} + {u_2}q + {u_2}{q^2}}} = \frac{{{u_8}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}}{{{u_2}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}} = \frac{{{u_2}{q^6}}}{{{u_2}}} = {q^6} = 4\)
Đáp án: 4

Phương pháp giải

Sử dụng máy tính cằm tay

Giải chi tiết

Sử dụng máy tính cầm tay ta được: \(L = {\rm{lim}}\frac{{3n - 1}}{{n + 2}} = 3\)

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^x} - 3} \right)\)

Giải chi tiết

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{{3^x} - 3 > 0}\\{{3^{x - 2}} - \frac{3}{4} > 0}\end{array} \Leftrightarrow x > 1\).
\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^x} - 3} \right){\rm{lo}}{{\rm{g}}_8}\left( {{3^x}{2^{ - 2}} - \frac{3}{4}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^x} - 3} \right) \cdot \frac{1}{3}\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^x} - 3} \right) - 2} \right] - 1 \le 0\)Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^x} - 3} \right)\)
Ta có:
\(\frac{1}{3}t\left( {t - 2} \right) - 1 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{t^2} - \frac{2}{3}t - 1 \le 0\)\( \Leftrightarrow - 1 \le t \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^x} - 3} \right) \le 3\)\( \Leftrightarrow \frac{7}{9} \le {3^x} \le 11 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{7}{9} \le x \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}11\)

Suy ra tập nghiệm là \(S = \left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{7}{2};{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}11} \right] \Rightarrow a + b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{77}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B