Cho hình chóp \({\rm{S}}.{\rm{ABC}}\) có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với mặt đáy và \(SA = AB = \sqrt 3 \). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác SAB. Khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng ( \(SBC\) ) bằng:

Phương pháp giải

Gọi \(M\) là trung điểm của SB. Chứng minh \(GM \bot \left( {SBC} \right)\).
Khi đó, \(d\left( {G;\left( {SBC} \right)} \right) = GM\).
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(SB \Rightarrow AM \bot SB\) (vì  cân)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\)
Và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{AM \bot SB}\\{AM \bot BC}\end{array} \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow GM \bot \left( {SBC} \right)\) tại \(M\).
Do đó \(d\left( {G;\left( {SBC} \right)} \right) = GM\).
Ta có: \(SM = \sqrt {A{B^2} + S{A^2}} = \sqrt 6 \Rightarrow AM = \frac{{SB}}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Vì \(G\) là trọng tâm của  nên \(GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).