Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt \({v_n} = u_n^2 + 1\). Chứng minh \({v_n}\) là một cấp số nhân.
Từ đó tìm công thức tổng quát của \(u_n^2\).
Tính \(S\) bằng cách sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.
Sử dụng ứng dụng của logarit để tìm số chữ số của \(S\).
Ta có: \({u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 = 3u_n^2 + 2 \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 + 1 = 3\left( {u_n^2 + 1} \right)\).
Đặt \({v_n} = u_n^2 + 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = 2.}\\{{v_{n + 1}} = 3{v_n}}\end{array}\).
Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({v_1} = 2\) công bội \(q = 3\) nên \({v_n} = {2.3^{n - 1}}\).
\( \Rightarrow u_n^2 = {2.3^{n - 1}} - 1\).
Khi đó: \(S = 2.\left( {1 + {3^1} + {3^2} + \ldots + {3^{2022}}} \right) = {3^{2023}} - 1\).
Ta có: \(S + 1 = {3^{2023}}\) có \(\left[ {{\rm{log}}{3^{2023}}} \right] + 1 = 966\) (chữ số).
Do đó \(S\) có 966 hoặc 965 chữ số.
\(S\) có 965 chữ số khi (vô lý do \({3^{2023}}\) là số lẻ còn \({10^{965}}\) là số chẵn)
Vậy số chữ số của \(S = 966\) (chữ số).
Đáp án cần chọn là: A
Dành cho bạn Hot
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập