Cho dãy số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} }\end{array}\) và \(S = u_1^2 + u_2^2 +  \ldots  + u_{2023}^2 + 2023\). Khi đó \(S\) có bao nhiêu chữ số.

Phương pháp giải

Xác định vị trí của điểm H 𝐻.

Xác định góc giữa hai mặt phẳng ( 𝑆 𝐴 𝐵 ) và ( 𝑆 𝐴 𝐶 ).

Sử dụng định lý hàm số cos để tính cosin góc giữa hai mặt phẳng.

Giải chi tiết

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AB \( \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABC) = Bt\parallel AC\)

Gọi \((\beta )\) là mặt phẳng qua C và vuông góc với AC \( \Rightarrow (\beta ) \cap (ABC) = Ct'\parallel AB\).

Khi đó \((\alpha ) \cap (\beta ) = SH\) với \(H = Bt \cap Ct'\)là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC.

Khi đó  và  là hai tam giác vuông bằng nhau, có \(SB = SC = a\sqrt 3 ,\qquad SA = 2a.\)

Gọi I là đường cao hạ từ đỉnh B của tam giác SAB, ta có

\(BI \bot SA,CI \bot SA.\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) là\(\angle (IB,IC)\).

Xét  cân tại I, có

\(IB = IC = \frac{{a\sqrt 3 \cdot a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\qquad BC = a\sqrt 2 .\)

Ta có:

\(\cos \angle BIC = \frac{{I{B^2} + I{C^2} - B{C^2}}}{{2{\mkern 1mu} IB \cdot IC}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} - 2{a^2}}}{{2 \cdot \frac{{3{a^2}}}{4}}} = - \frac{1}{3}.\)

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng \(\frac{1}{3}\)

Đáp án: 1/3