ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn \[{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\] có tâm I(a;b) và bán kính\[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \]

Do đó:\[c = {a^2} + {b^2} - {R^2}\]

Phương trình của đường tròn có tâm I(−3;4) và bán kính R=2 là:

\[{(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} = {2^2}\] hay\[{(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} - 4 = 0\]

\[{x^2} + {y^2} = 1.\]  Thay x=0,y=0 ta \[{0^2} + {0^2} = 1\]  là mệnh đề A sai.

\[{x^2} + {y^2} - x - y + 2 = 0\]  Thay x=0,y=0 ta có 2=0 là mệnh đề B sai.

\[{x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 8 = 0.\] Thay x=0,y=0 ta có 8=0 là mệnh đề C sai.

\[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25.\]  Thay x=0,y=0 ta có\[{\left( { - 3} \right)^2} + {\left( { - 4} \right)^2} = 25\] là mệnh đề đúng. Vậy \[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25.\]  đi qua gốc tọa độ.

Ta có: \[R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 + 4} \right)}^2}} = \sqrt {50} \]

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;−4)  có bán kính\[R = \sqrt {50} \]  là:

\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 50.\]

Cách làm:

\[{x^2} + {y^2} = 8\] Ta thay A(0;2) vào phương trình có \[{0^2} + {2^2} = 8\]là mệnh đề sai. Loại A

\[{x^2} + {y^2} + 2x + 4 = 0\]Ta thay A(0;2) vào phương trình có \[{0^2} + {2^2} + 2.0 + 4 = 0\]là mệnh đề sai. Loại B

\[{x^2} + {y^2} - 2x - 8 = 0\]Ta thay A(0;2) vào phương trình có \[{0^2} + {2^2} - 2.0 - 8 = 0\]là mệnh đề sai. Loại C.

- Điểm B thuộc \[{d_1}:x + y + 5 = 0\] nên ta giả sử B(b;−b−5)

Điểm C thuộc \[{d_2}:x + 2y - 7 = 0\] nên ta giả sử C(7−2c,c)

Vì tam giác ABC có A(2;3), trọng tâm là G(2;0) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 + b + 7 - 2c = 6}\\{3 - b - 5 + c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b - 2c = - 3}\\{ - b + c = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 1}\\{b = - 1}\end{array}} \right.\)

Suy ra B(−1;−4) và C(5;1)

- Giả sử phương trình đường tròn cần lập có dạng\[{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\] Vì đường tròn qua 3 điểm  A(2;3), B(−1;−4) và C(5;1) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + 6b + c = - 13}\\{ - 2a - 8b + c = - 17}\\{10a + 2b + c = - 26}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 83}}{{54}}}\\{b = \frac{{17}}{{18}}}\\{c = - \frac{{338}}{{27}}}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn là:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + 2.\left( { - \frac{{83}}{{54}}} \right)x + 2.\left( {\frac{{17}}{{18}}} \right)y - \frac{{338}}{{27}} = 0}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \frac{{83}}{{27}}x + \frac{{17}}{9}y - \frac{{338}}{{27}} = 0}\end{array}\]

Đường tròn (C) có tâm I(−1;3) và bán kính\[R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} - 9} = 1\]

Ta có:\[d(I;d) = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) - 4.3 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2 >R\]

Suy ra d không cắt (C).

Ta có \[IM + MN \ge IN \Leftrightarrow MN \ge IN - R\]

MN min  ⇔  IN đạt min ⇔⇔ N là chân hình chiếu vuông góc của I xuống đường thẳng d.

Giả sử N(a;b). Vì \[N \in d\] nên ta có \[3a - 4b + 5 = 0\] (1)

Mặt khác, ta có: IN vuông góc với d nên \[\overrightarrow {IN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\] Mà

\[\overrightarrow {IN} = \left( {a + 1;b - 3} \right),\overrightarrow {{u_d}} = \left( {4;3} \right)\]  Suy ra ta có:

\[4(a + 1) + 3(b - 3) = 0 \Leftrightarrow 4a + 3b - 5 = 0\]  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + 3b - 5 = 0}\\{3a - 4b + 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{5}}\\{b = \frac{7}{5}}\end{array}} \right. \Rightarrow N\left( {\frac{1}{5},\frac{7}{5}} \right)\)Vì d(I;d)=2R nên M là trung điểm của IN. Do đó, tọa độ của M là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = \frac{1}{2}\left( { - 1 + \frac{1}{5}} \right) = - \frac{2}{5}}\\{{y_M} = \frac{1}{2}\left( {3 + \frac{7}{5}} \right) = \frac{{11}}{5}}\end{array}} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{2}{5};\frac{{11}}{5}} \right)\)

Đường tròn\[({C_m}):{x^2} + {y^2} - 2mx - 4my - 5 = 0\](m là tham số) có bán kính bằng 5

\[ \Leftrightarrow {R^2} = {m^2} + 4{m^2} + 5 = 25 \Leftrightarrow 5{m^2} = 20 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2\]