ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Bài toán về điểm và vectơ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j$Tọa độ của điểm  M là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow k$ và $\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow i$. Tọa độ của $\overrightarrow {MN}$là: 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;−2;3),B(1;0;−1).  Gọi M là trung điểm đoạn  AB. Khẳng định nào sau đây là đúng? 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;−3;5),N(6;−4;−1) và đặt  $u = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|$ Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Trong không gian Oxyz cho ba vecto $\overrightarrow a = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right),\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Trong không gian Oxyz cho 3 véc tơ: $\overrightarrow a \left( {4;2;5} \right),\overrightarrow b \left( {3;1;3} \right),\overrightarrow c \left( {2;0;1} \right)$. Kết luận nào sau đây đúng 

Cho tam giác ABC biết A(2;4;−3) và trọng tâm G của tam giác có toạ độ là G(2;1;0). Khi đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a$và $\overrightarrow b$thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3$$\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {30^0}$. Độ dài của vectơ $\left[ {5\overrightarrow a , - 2\overrightarrow b } \right]$ bằng:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;−1),B(2;−1;3),C(−3;5;1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Cho hình bình hành ABCD với A(2;4;−4),B(1;1;−3),C(−2;0;5),D(−1;3;4). Diện tích của hình bình hành ABCD bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow a = \left( {3; - 1; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;2;m} \right)\;$và $\overrightarrow c = \left( {5;1;7} \right).$Giá trị mm bằng bao nhiêu để $\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\;$

Cho A(1;2;5),B(1;0;2),C(4;7;−1),D(4;1;a). Để 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng thì aa bằng:

Cho hai điểm A(1;2;−1) và B(−1;3;1). Tọa độ điểm M nằm trên trục tung sao cho tam giác ABM vuông tại M .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểmA(1;1;1),B(−1;−1;0) và C(3;1;−1). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy) và cách đều các điểm A,B,C .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm  A(0;2;−1) , B(2;0;1). Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox sao cho :MA²+MB² đạt giá trị bé nhất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;−1;1) và C′(4;5;−5).  Khi đó, thể tích của hình hộp đó là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,  cho tứ diện ABCD  có A(2;−1;1), B(3;0;−1), C(2;−1;3) và D thuộc trục Oy . Tính tổng tung độ của các điểm D, biết thể tích tứ diện bằng 5 .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vecto $\vec a = \left( {m;2;3} \right)$và $\overrightarrow b \left( {1;n;2} \right)$

  cùng phương thì 2m+3n bằng.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;0;4) và B(2;4;0). Điểm M di động trên tia Oz, điểm N di động trên tia Oy. Đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).