Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \)thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\)\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {30^0}\). Độ dài của vectơ \(\left[ {5\overrightarrow a , - 2\overrightarrow b } \right]\) bằng:

M thuộc mặt phẳng (Oxy), giả sử M(m;n;0).

Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{MA = \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1} }\\{MB = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2}} }\\{MC = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1} }\end{array}\]

Vì M cách đều ba điểm A,B,C nên ta có MA=MB=MC.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MA = MB}\\{MA = MC}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M{A^2} = M{B^2}}\\{M{A^2} = M{C^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1 = {{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2}}\\{{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1 = {{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4m + 4n = 1}\\{4m = 8}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{n = - \frac{7}{4}}\end{array}} \right.\)

Vậy\[M\left( {2; - \frac{7}{4};0} \right)\]