Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng \[(d):3x - 4y + 5 = 0\] và đường tròn \[(C):\;{x^2} + {y^2} + 2x - 6y + 9 = 0.\]. Tìm những điểm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.
A.\[M\left( { - \frac{{11}}{5};\frac{{23}}{5}} \right),N\left( {\frac{1}{5};\frac{7}{5}} \right)\]
B. \[M\left( { - \frac{2}{5};\frac{{11}}{5}} \right),N\left( {\frac{1}{5};\frac{7}{5}} \right)\]
C. \[M\left( { - \frac{2}{5};\frac{{11}}{5}} \right),N\left( {1;2} \right)\]
D. \[M\left( { - \frac{{11}}{5};\frac{{23}}{5}} \right),N\left( {1;2} \right)\]Trả lời:
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng \[(d):3x - 4y + 5 = 0\] và đường tròn \[(C):\;{x^2} + {y^2} + 2x - 6y + 9 = 0.\]. Tìm những điểm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1652777769/1652777969-image1.png)
Đường tròn (C) có tâm I(−1;3) và bán kính\[R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} - 9} = 1\]
Ta có:\[d(I;d) = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) - 4.3 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2 >R\]
Suy ra d không cắt (C).
Ta có \[IM + MN \ge IN \Leftrightarrow MN \ge IN - R\]
MN min ⇔ IN đạt min ⇔⇔ N là chân hình chiếu vuông góc của I xuống đường thẳng d.
Giả sử N(a;b). Vì \[N \in d\] nên ta có \[3a - 4b + 5 = 0\] (1)
Mặt khác, ta có: IN vuông góc với d nên \[\overrightarrow {IN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\] Mà
\[\overrightarrow {IN} = \left( {a + 1;b - 3} \right),\overrightarrow {{u_d}} = \left( {4;3} \right)\] Suy ra ta có:
\[4(a + 1) + 3(b - 3) = 0 \Leftrightarrow 4a + 3b - 5 = 0\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + 3b - 5 = 0}\\{3a - 4b + 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{5}}\\{b = \frac{7}{5}}\end{array}} \right. \Rightarrow N\left( {\frac{1}{5},\frac{7}{5}} \right)\)Vì d(I;d)=2R nên M là trung điểm của IN. Do đó, tọa độ của M là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = \frac{1}{2}\left( { - 1 + \frac{1}{5}} \right) = - \frac{2}{5}}\\{{y_M} = \frac{1}{2}\left( {3 + \frac{7}{5}} \right) = \frac{{11}}{5}}\end{array}} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{2}{5};\frac{{11}}{5}} \right)\)
Đáp án cần chọn là: B
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.\[{x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\]
B. \[4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\]
C. \[{x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\]
D. \[{x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án B: \[4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\] không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x2 là 4 và của y2 là 1.
Đáp án C: \[{x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\] có\[a = 1\,\,,b = 4,\,\,c = 20\]
Ta thấy\[{a^2} + {b^2} = {1^2} + {4^2} = 17 < 20 = c\] Đây không phải là một phương trình đường tròn.
Đáp án D:\[{x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\] có\[a = 2,\,\,b = - 3,\,\,c = - 12\]
Ta thấy \[{a^2} + {b^2} = {2^2} + {( - 3)^2} = 13 >- 12 = c\] Đây là một phương trình đường tròn.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 2
A.\[{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.\]
B. \[{x^2} + {y^2} = 1.\]
C. \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1.\]
D. \[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án cần chọn là: B
Câu 3
A.\[{(x + 2)^2} + {(y - 4)^2} = 50\]
B. \[{(x - 2)^2} + {(y + 4)^2} = 25\]
C. \[{(x - 2)^2} + {(y + 4)^2} = 50.\]
D. \[{(x + 2)^2} + {(y - 4)^2} = 25\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\[c = {a^2} + {b^2} - {R^2}\]
B. \[c = {a^2} - {b^2} - {R^2}\]
C. \[c = - {a^2} + {b^2} - {R^2}\]
D. \[c = {R^2} - {a^2} - {b^2}\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.1<m<2
B.−2≤m≤1
C.m<1 hoặc m>2
D.m<−2 hoặc m>1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\[{(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} - 4 = 0\]
B. \[{(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} = 4\]
C. \[{(x + 3)^2} + {(y + 4)^2} = 4\]
D. \[{(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} = 2\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.Parabol (P):\[y = - 2{x^2} + 1\]
B.Đường thẳng \[\left( {d'} \right):y = 2x + 1\].
C.Parabol \[\left( P \right):y = - 2{x^2} + 1\]
D.Đường thẳng \[\left( d \right):y = - 2x - 1\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập