Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 41)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

TH 1: \(m = 0:f\left( x \right) = 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (đúng) \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn.

TH 2: Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{{\rm{\Delta '}} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{{m^2} - 4m < 0}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left( {0;4} \right)} \right.} \right.\).

Vậy \(m \in \left[ {0;4} \right)\).

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Áp dụng định lý: \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( P \right) \bot \left( Q \right)}\\{\left( P \right) \cap \left( Q \right) = {\rm{\Delta }}}\\{d \in \left( P \right)}\\{d \bot {\rm{\Delta }}}\end{array}} \right\} \Rightarrow d \bot \left( Q \right)\)

Lời giải

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(OP \bot AB\).

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB \Rightarrow OP \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OP.}\\{AB \bot OP \subset \left( {ABCD} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB = 2a}\\{BC = 2a\sqrt 2 }\\{OD = a\sqrt 3 }\end{array} \Rightarrow A{B^2} + A{D^2} = 4{a^2} + 8{a^2} = 12{a^2} = {{(2OD)}^2} = B{D^2}} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta BAD\) vuông tại \(A\), trên \(\left( {ABCD} \right)\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OP \bot AB}\\{AD \bot AB}\end{array} \Rightarrow OP//AD} \right.\).

Mà \(O\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow OP = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}.2a\sqrt 2  = a\sqrt 2  \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \frac{d}{a} = \sqrt 2  \Rightarrow {\left( {\frac{d}{a}} \right)^2} = 2\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tồn tại Max hay Min của biểu thức \(P\) tức là tồn tại 2 giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất mà ở đó ta luôn tìm được tối thiểu là 1 cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn.

Chuyển vế \(P\) và đưa về phương trình bậc hai ẩn \(x\).

Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai.

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\)

Dấu của tam thức bậc hai

Lời giải

Tồn tại Max hay Min của biểu thức P tức là tồn tại 2 giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất mà ở đó ta luôn tìm được tối thiểu là 1 cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn.

Ta có: \(P = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + y \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} - 2xy + y - P = 0\) và ta coi đây là một hàm số bậc hai ẩn \(x\).

\( \Rightarrow \) Để tồn tại nghiệm thì \({\rm{\Delta }} = 4{y^2} - 4\left( {2{y^2} + y - P} \right) \ge 0\) có nghiệm.

\( \Leftrightarrow - 4{y^2} - 4y + 4P \ge 0\) có nghiệm

\( \Leftrightarrow {{\rm{\Delta }}_y} = 16 - 4\left( { - 4} \right)\left( {4P} \right) = 16 + 64P \ge 0\)

\( \Leftrightarrow P \ge - \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 4}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow a + b = 5\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Gọi \(F,F'\) là các tiêu điểm của \(\left( E \right)\).

Với \(M \in \left( E \right) \Rightarrow MF + MF' = 2a\).

Lời giải

\(\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{63}} = 1\) nên \(a = \sqrt {144} = 12;b = \sqrt {63} = 3\sqrt 7 \).

Gọi \(F,F'\) là các tiêu điểm của \(\left( E \right)\).

Khi đó \(MF + MF' = 2a = 2.12 = 24\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dựng đường thẳng \({\rm{d'}}\) qua A và vuông góc với d

Tìm giao điểm H của d' và d

Tìm tọa độ điểm \({\rm{A'}}\) dựa trên tính chất đối xứng: H là trung điểm của \({\rm{AA'}}\)

Lời giải

Đường thẳng d có vtpt \(\vec n\left( {1;2} \right)\)

Đường thẳng \({\rm{d'}}\) qua A và vuông góc với d là: \(2\left( {x - 2} \right) - y = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 4 = 0\)

Giao điểm H của d và \({\rm{d'}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{x + 2y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{11}}{5}}\\{y = \frac{2}{5}}\end{array}} \right.} \right.\)

Do H là trung điểm của \({\rm{AA'}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{A'}} = 2.\frac{{11}}{5} - 2 = \frac{{12}}{5}}\\{{y_{A'}} = 2.\frac{2}{5} - 0 = \frac{4}{5}}\end{array}} \right.\)

\(S = 5.\frac{{12}}{5} + 10.\frac{4}{5} = 12 + 8 = 20\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Ứng dụng vào bài toán tối ưu

Lời giải

Gọi \(x,y\) lần lượt số bánh chưng và bánh ống gói được \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\).

Số điểm thưởng đạt được là: \(5x + 7y\) (điểm)

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,4x + 0,6y \le 10}\\{0,05x + 0,075y \le 2}\\{0,1x + 0,15y \le 5}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 50}\\{2x + 3y \le 80}\\{2x + 3y \le 100}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 50}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( I \right)\) để \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\) đạt giá trị lớn nhất.

+) Miền nghiệm của \(\left( I \right)\) là tam giác \(OAB\) (kể cả biên)

+) \(A\left( {0;\frac{{50}}{3}} \right),B\left( {25;0} \right),O\left( {0;0} \right)\)

+) \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\)

\(F\left( A \right) = \frac{{350}}{3};F\left( B \right) = 125;F\left( O \right) = 0\)

\( \Rightarrow {\rm{max}}F\left( {x;y} \right) = F\left( B \right) = 125 \Leftrightarrow x = 25;y = 0\)

Vậy cần phải gói 25 cái bánh chưng để nhận được số điểm thưởng lớn nhất.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức

Lời giải

Ta có \({a_n} = - {(n - 2)^2} + 15 \le 15,\forall n \ge 1\). Dấu bằng xảy ra khi \(n - 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2\).