Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) nằm trong khoảng \(\left( { - 10;10} \right)\) để hàm số \(y = \frac{1}{{m{\rm{log}}_3^2x - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x + m + 3}}\) xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Hàm số xác định \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m{\rm{log}}_3^2x - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x + m + 3 \ne 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) (*).

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x,t \in \mathbb{R}\).

(*) \( \Leftrightarrow m{t^2} - 4t + m + 3 = 0\) vô nghiệm.

Trường hợp 1: \(m = 0\). Phương trình có nghiệm (loại \(m = 0\)).

Trường hợp 2: \(m \ne 0\). Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi

\({\rm{\Delta '}} < 0 \Leftrightarrow 4 - m\left( {m + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow m < - 4\) hoặc \(m > 1\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) nên \(m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5;2;3; \ldots 8;9} \right\}\).

Vậy có 13 giá trị nguyên thỏa mãn.