Trong một cuộc thi gói bánh vào dịp năm mới, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 10 kg gạo nếp, 2 kg thịt ba chỉ, 5 kg đậu xanh để gói bánh chưng và bánh ống. Để gói một cái bánh chưng cần \(0,4{\rm{\;kg}}\) gạo nếp, \(0,05{\rm{\;kg}}\) thịt và \(0,1{\rm{\;kg}}\) đậu xanh; để gói một cái bánh ống cần \(0,6{\rm{\;kg}}\) gạo nếp; \(0,075{\rm{\;kg}}\) thịt và \(0,15{\rm{\;kg}}\) đậu xanh. Mỗi cái bánh chưng nhận được 5 điểm thưởng, mỗi cái bánh ống nhận được 7 điểm thưởng. Hỏi phải gói mấy cái bánh mỗi loại để được nhiều điểm thưởng nhất?

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Ứng dụng vào bài toán tối ưu

Lời giải

Gọi \(x,y\) lần lượt số bánh chưng và bánh ống gói được \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\).

Số điểm thưởng đạt được là: \(5x + 7y\) (điểm)

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,4x + 0,6y \le 10}\\{0,05x + 0,075y \le 2}\\{0,1x + 0,15y \le 5}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 50}\\{2x + 3y \le 80}\\{2x + 3y \le 100}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 50}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( I \right)\) để \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\) đạt giá trị lớn nhất.

+) Miền nghiệm của \(\left( I \right)\) là tam giác \(OAB\) (kể cả biên)

+) \(A\left( {0;\frac{{50}}{3}} \right),B\left( {25;0} \right),O\left( {0;0} \right)\)

+) \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\)

\(F\left( A \right) = \frac{{350}}{3};F\left( B \right) = 125;F\left( O \right) = 0\)

\( \Rightarrow {\rm{max}}F\left( {x;y} \right) = F\left( B \right) = 125 \Leftrightarrow x = 25;y = 0\)

Vậy cần phải gói 25 cái bánh chưng để nhận được số điểm thưởng lớn nhất.