Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, cạnh $AB\hspace{0.17em}= 2a, BC\hspace{0.17em}= 2a\sqrt{2}, OD = a\sqrt{3}$ Tam giác SAB nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi d là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SAB. Giá trị ${\left(\frac{d}{a}\right)}^2$ bằng

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Áp dụng định lý: \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( P \right) \bot \left( Q \right)}\\{\left( P \right) \cap \left( Q \right) = {\rm{\Delta }}}\\{d \in \left( P \right)}\\{d \bot {\rm{\Delta }}}\end{array}} \right\} \Rightarrow d \bot \left( Q \right)\)

Lời giải

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(OP \bot AB\).

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB \Rightarrow OP \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OP.}\\{AB \bot OP \subset \left( {ABCD} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB = 2a}\\{BC = 2a\sqrt 2 }\\{OD = a\sqrt 3 }\end{array} \Rightarrow A{B^2} + A{D^2} = 4{a^2} + 8{a^2} = 12{a^2} = {{(2OD)}^2} = B{D^2}} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta BAD\) vuông tại \(A\), trên \(\left( {ABCD} \right)\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OP \bot AB}\\{AD \bot AB}\end{array} \Rightarrow OP//AD} \right.\).

Mà \(O\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow OP = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}.2a\sqrt 2  = a\sqrt 2  \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \frac{d}{a} = \sqrt 2  \Rightarrow {\left( {\frac{d}{a}} \right)^2} = 2\)