Có một khối gỗ dạng hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = 3cm, OB = 6cm, OC = 12cm. Trên mặt ABC người ta đánh dấu một điểm M sau đó người ta cắt gọt khối gỗ để thu được một hình hộp chữ nhật có OM là một đường chéo đồng thời hình hộp có 3 mặt nằm trên 3 mặt của tứ diện. Thể tích lớn nhất của khối gỗ hình chữ nhật bằng:

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "8"

Phương pháp giải

Gọi khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( {OAB} \right),\left( {OBC} \right),\left( {OCA} \right)\) là \(x,y,z\). Tìm mối quan hệ của \(x,y,z\).

Tính thể tích khối gỗ theo \(x,y,z\).

Sử dụng bất đẳng thức Cosi để tìm thể tích lớn nhất của khối gỗ.

Lời giải

Gọi khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( {OAB} \right),\left( {OBC} \right),\left( {OCA} \right)\) là \(x,y,z\).

Ta có: \({V_{O.ABC}} = {V_{M.OAB}} + {V_{M.OBC}} + {V_{M.OAC}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{6}.3.6.12 = \frac{1}{3}.x.\frac{1}{2}.3.6 + \frac{1}{3}.y.6.12 + \frac{1}{3}.z.3.12 \Leftrightarrow x + 4y + 2z = 12\).

Thể tích khối gỗ là \(V = xyz = \frac{1}{8}.x.4y.2z \le \frac{1}{8}{\left( {\frac{{x + 4y + 2z}}{3}} \right)^3} = \frac{1}{8}.\frac{{{{12}^3}}}{{27}} = 8\) (Theo bất đẳng thức Cosi).

Vậy thể tích khối gỗ đạt giá trị lớn nhất bằng \(8{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\) khi

\(x = 4y = 2z \Leftrightarrow x = 4cm,y = 1cm,z = 2cm\).