Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 4)

Phương pháp giải

Giải phương trình 𝑓 ( 𝑥 ) . 𝑔 ( 𝑥 ) = 0 từ đó suy ta quan hệ tập con.

Giải chi tiết

Ta có: \[f(x) \cdot g(x) = 0\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) = 0}\\{g(x) = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow H = E \cup F.\]

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)

Giải chi tiết

\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 10 + 15 - 8 = 17\)

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải

Gọi 𝑥 và 𝑦 lần lượt là số tấn nguyên liệu loại I và loại II mà người ta cần dùng.

Từ giả thiết lập hệ bất phương trình, biểu diễn đồ thị miền nghiệm. khi đó GTLN đạt tại đỉnh đa giác miền nghiệm.

Giải chi tiết

Gọi 𝑥 và 𝑦 lần lượt là số tấn nguyên liệu loại I và loại II mà người ta cần dùng.

Khi đó khối lượng chất 𝐴 chiết xuất được là 40𝑥 + 20𝑦 ( kg ) .

Khối lượng chất 𝐵 chiết xuất được là 1,2𝑥 + 3𝑦 ( kg ) .

Từ giả thiết ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{40x + 20y \ge 280}\\{1,2x + 3y \ge 18}\\{x \le 10}\\{y \le 9}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y \ge 14}\\{1,2x + 3y \ge 18}\\{x \le 10}\\{y \le 9}\end{array}} \right.\)

Hơn nữa, số tiền người ta phải trả để mua nguyên liệu là \[{\rm{F(x; y) = 4x + 3y }}\]triệu đồng

Vậy bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của F(x; y) với (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ở trên

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên.

Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD với   \(A(5;4),\quad B(10;2),\quad C(10;9),\quad D(2,5;9)\;({\rm{H}}{\rm{.2}}{\rm{.6}}).\)

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Tìm \(\vec F = {\vec F_1} + {\vec F_2}\) khi đó \(|{\vec F_3}| = |\vec F|\)

Giải chi tiết

Ta sử dụng các vectơ \[\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} \] và \[\overrightarrow {OD} \] lần lượt biểu diễn cho các lực \({\vec F_1},{\vec F_2},{\vec F_3}\) và hợp lực\(\vec F\) của \({\vec F_1},{\vec F_2}\)

Khi đó, do \(\vec F = {\vec F_1} + {\vec F_2}\) và \(|{\vec F_1}| = |{\vec F_2}| = 100\) , nên tứ giác AOBD là hình thoi.

Từ đó, do $\widehat{AOB}={120}^{°}$ , suy ra $\widehat{OAD}={60}^{°}$ , do đó tam giác AOD đều.

Bởi vậy \(|\vec F| = OD = OA = 100.\)

Do vật ở vị trí cân bằng nên hai lực \(\vec F\) và \({\vec F_3}\) ngược hướng và có cường độ bằng nhau, tức là hai vectơ \(\overrightarrow {OD} \) và \(\overrightarrow {OC} \) là hai vectơ đối nhau.

Suy ra cường độ của lực \({\vec F_3}\) bằng \(|{\vec F_3}| = |\vec F| = 100\) N

Đáp án cần điền là: 100

Phương pháp giải

Gọi \(C(0;c) \in Oy\). Tính \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right|\) và giải bpt tìm c.

Giải chi tiết

Xét điểm \(C(0;c) \in Oy\)

Khi đó \(\overrightarrow {CA} = (1;{\mkern 1mu} 2 - c)\) và \(\overrightarrow {CB} = (3;{\mkern 1mu} - 4 - c)\).

Do đó \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = (4;{\mkern 1mu} 2 - 2c)\), suy ra \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \sqrt {16 + 4{{(1 + c)}^2}} .\)

Do \({(1 + c)^2} \ge 0\;\forall c\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = -1, nên \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| \ge 4,\)đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = -1.

Vậy với điểm \(C(0;{\mkern 1mu} - 1)vector{\rm{ }}\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \)có độ dài ngắn nhất.

Cách 2. Với mỗi điểm C đều có \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {CI} \), với I là trung điểm AB.

Suy ra vectơ \[\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \] có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ \[\overrightarrow {CI} \]có độ dài ngắn nhất.

Từ đó, do C thuộc trục tung, nên C là hình chiếu vuông góc của I trên trục tung.

Khi ta chứng tỏ bài toán tìm điểm C thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho vectơ \(\alpha \overrightarrow {CA} + \beta \overrightarrow {CB} \) có độ dài ngắn nhất, với \(\alpha ,\beta \) là hai hằng số cho trước

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải

Sử dụng tích vô hướng của 2 vectơ vuông góc bằng 0

Giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( - 3;{\mkern 1mu} 6),{\rm{ }}\overrightarrow {OC} = (3m;{\mkern 1mu} 2m - 1)\)

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {OC} = 0\; \Leftrightarrow \; - 3 \cdot 3m + 6(2m - 1) = 0\; \Leftrightarrow \;m = 2\)

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Mốt là số liệu có tần số lớn nhất

Giải chi tiết

Ta thấy điểm 7 có tần số bằng 3 nhiều nhất nên Mốt = 7

Đáp án cần chọn là: B