Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;2) và B(3;-4).

Tìm toạ độ của điểm \(C\) thuộc trục tung sao cho vectơ \[\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \] có độ dài ngắn nhất.

Phương pháp giải

Gọi \(C(0;c) \in Oy\). Tính \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right|\) và giải bpt tìm c.

Giải chi tiết

Xét điểm \(C(0;c) \in Oy\)

Khi đó \(\overrightarrow {CA} = (1;{\mkern 1mu} 2 - c)\) và \(\overrightarrow {CB} = (3;{\mkern 1mu} - 4 - c)\).

Do đó \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = (4;{\mkern 1mu} 2 - 2c)\), suy ra \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \sqrt {16 + 4{{(1 + c)}^2}} .\)

Do \({(1 + c)^2} \ge 0\;\forall c\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = -1, nên \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| \ge 4,\)đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = -1.

Vậy với điểm \(C(0;{\mkern 1mu} - 1)vector{\rm{ }}\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \)có độ dài ngắn nhất.

Cách 2. Với mỗi điểm C đều có \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {CI} \), với I là trung điểm AB.

Suy ra vectơ \[\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \] có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ \[\overrightarrow {CI} \]có độ dài ngắn nhất.

Từ đó, do C thuộc trục tung, nên C là hình chiếu vuông góc của I trên trục tung.

Khi ta chứng tỏ bài toán tìm điểm C thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho vectơ \(\alpha \overrightarrow {CA} + \beta \overrightarrow {CB} \) có độ dài ngắn nhất, với \(\alpha ,\beta \) là hai hằng số cho trước

Đáp án cần chọn là: C